Áreas num Semi-Círculo

por **adriano tavares** Ter 30 Nov 2010, 21:22

Olá, andrerj.

Áreas num Semi-Círculo S1s2

Vamos resolver esse problema pensando diferente,ou seja, ao invés de calcularmos todas as áreas,vamos calcular apenas a área da região verde.
Note que todos os pontos de AB são equidistantes,ou seja,

$AO'=O'C=CO=ON$ .

Dessa forma tem-se que:

$AC=d\\\\CB=2d\\\\AB=3d$

Perceba que o triângulo ADB é retângulo pois está inscrito numa semi-circunferência.
Vamos calcular o diâmetro CD aplicando as relações métricas.

$(CD)^2=(AC).(CB)\Rightarrow (CD)^2=d.2d \Rightarrow (CD)^2=2d^2$

A área da região verde é igual a área da circunferência de diâmetro CD menos a soma das áreas (S_1+S_2+S_3).

$A_v=\frac{\pi (CD)^2}{4}-(S_1+S_2+S_3)\Rightarrow A_v=\frac{2\pi d^2}{4}-(S_1+S_2+S_3)\\\\A_v=\frac{\pi d^2}{2}-(S_1+S_2+S_3)$

A área da regiâo verde é também igual a área da semi-circunferência de diâmetro AB menos a soma das áreas (S_4+S_5) menos a somas das áreas das semi-circunferências de diâmetros AC e CB .

$A_v=\frac{9\pi d^2}{8}-\frac{4\pi d^2}{8}-\frac{\pi d^2}{8}-(S_4+S_5)\Rightarrow A_v=\frac{\pi d^2}{2}-(S_4+S_5)$

Igualando as áreas teremos:

$\frac{\pi d^2}{2}-(S_4+S_5)=\frac{\pi d^2}{2}-(S_1+S_2+S_3)\Rightarrow S_1+S_2+S_3=S_4+S_5$

Áreas num Semi-Círculo

Áreas num Semi-Círculo

ÁREAS NUM SEMI-CÍRCULO

Um fórum livre e democrático.