Combinatória (tabuleiro)

De quantos modos é possível colocar um rei negro e um rei branco em casas não adjacentes de um tabuleiro de xadres?

R:3612

Existem 3 possibilidades

1) Rei num dos 4 vértices

Casas que não podem ser ocupadas: o próprio vértice e 3 casas adjacentes ---> Total = 4 casas proibidas

Total de casas livres = 64 - 4 = 60 casas livres em cada canto ----> Nos 4 cantos são 4*60 = 240 possibilidades

2) Rei numa das 24 casas laterais do tabuleiro (exclusive os cantos)

Casas que não podem ser ocupadas: a própria casa do rei e 5 casas adjacentes ---> Total = 6 casas proibidas

Total de casas livres = 64 - 5 = 58 casas livres em cada lado ----> Nas 24 casas são 24*58 = 1392 possibilidades

3) Rei em qualquer uma das 64 - 28 = 36 casas centrais

Casas que não podem ser ocupadas: a própria casa do rei e 8 casas adjacentes ---> Total = 9 casas proibidas

Total de casas livres = 64 - 9 = 55 casas livres ----> Nas 36 casas são 36*55 = 1980 possibilidades


Total geral = 240 + 1392 + 1980 = 3612

como eu saberei dedutivamente que está incluindo as duas possibilidades de colocar o rei branco e o rei preto ?  .. Porque em primeiro momento estava multiplicando por dois cada tipo de caso

Escolha uma casa qualquer para o rei branco (Rb), por exemplo, o vértice superior esquerdo do tabuleiro.

Desenhe um tabuleiro menor 3 x 3 com o rei branco Rb no vértice superior esquerdo (A11). Sejam Rp as casas permitidas para o rei preto (Rp) e Xx as casas proibidas para ele:

Rb Xx Rp
Xx Xx Rp
Rp Rp Rp

Suponha agora que, numa futura disposição, o rei branco esteja na casa A33. É óbvio que o rei preto PODERÁ ocupar a casa A11.

Isto significa que todas as inversões dos reis já estarão contempladas na contagem (logo, não é necessário multiplicar por 2)