Cinemática

Um burro, deslocando-se para a direita sobre o solo plano e horizontal, iça verticalmente uma carga por meio de uma polia e de uma corda inextensível, como representa a figura:




Se, no instante considerado, a velocidade da carga tem intensidade V, determine a intensidade da velocidade do burro em função de V e dos comprimentos H e D indicados no esquema.

Spoiler:

O comprimento da diagonal é



a velocidade de crescimento dessa diagonal é igual à velocidade de içamento da carga

Euclides, o senhor pode me explicar como passou da primeira equação da velocidade v para a segunda? Creio que tenha usado derivadas, mas como pôde reconhecer que seu uso era necessário e de q forma as empregou?

Smasher

Vou modificar apenas a nomenclatura, para facilitar o entendimento para outros usuários:

Seja D = x e seja a diagonal y = √(H² + D²) ---> y =  √(H² + x²)

Note que temos a função y = f(x) ---> x é a variável independente

Queremos a velocidade horizontal do burro Vb = dx/dt

Para se obter isto temos que calcular dy/dt que é a derivada da função y ---> dy/dt = V

dy/dt = (d/dt).√(H² + x²) ---> V = (d/dt).(H² + x²)^1/2 ---> V = (1/2).(H² + x²)^-1/2.(2x).(dx/dt) --->

V = [x/√(H² + x²)].Vb ---> Vb = [√(H² + x²)]/x].V

Voltando a usar a nomenclatura do enunciado ---> Vb = [√(H² + D²)]/D].V

Nesta passagem: V = (d/dt).(H² + x²)^1/2 ---> V = (1/2).(H² + x²)^-1/2.(2x).(dx/dt)

De onde vem (2x).(dx/dt) ?

Seja y = {f(x)}ⁿ

A derivada y' = dy/dx é dada sempre por y' = n.{f(x)}^n-1.[f(x)]' onde:

n é uma constante qualquer e [f(x)]' é a derivada de f(x)

Na questão --> n = 1/2 ---> f(x) = H² + x² ---> [f(x)]' = (H²)' + (x²)' ---> [f(x)]' = 0 + 2.x ---> [f(x)]' = 2.x


Como na questão a derivada é em relação ao tempo t (dy/dt), no final aparece dx/dt

Isso tudo é algo se relaciona com cálculo?

Sim é a base do Cálculo Diferencial

f(x) é a função primitiva e f '(x) é a função derivada

f '(x) é obtida a partir de f(x) por regras muito bem estabelecidas.

Veja um exemplo clássico na Mecânica, no caso de um MRUV:

S(t) = So + Vo.t + (1/2).a.t² ---> Equação do espaço S em função do tempo t

Nesta equação So, Vo, a são constantes

A derivada S'(t) vale ---> S'(t) = 0 + Vo.1 + (1/2).a.(2.t) ---> S'(t) = Vo + a.t

Fórmula bem conhecida na Mecânica: V = Vo + a.t

Assim, a função derivada S'(t) nada mais é do que a velocidade no MRUV.

Desta forma que fiz está incorreto?

Vb = √ H² + D²

senθ = H/ √ H² + D² 


senθ = V/ Vb


Vb = V/ senθ


Vb = V/ H/√ H² + D² 


Vb = √ H² + D². V/ H