Aplicação da Lei dos senos

-A diagonal maior de um paralelogramo mede 7 m.Os lados do quadrilátero medem 5 m e 3m.
Qual é o ângulo x que essa diagonal forma com o menor lado do paralelogramo?
(Você deve calcular sen x e consultar a tabela)

TABELA: x [ 37° ;38° ;39° ;40° ]
Sen x [0,602 ;0,616 ;0,629 ;0643 ]

Gabarito: 38°


-A unica conclusão que cheguei foi pelo procedimento seguinte: Conclui que o triângulo formado com a diagonal maior é obtusângulo pois: a² >b² + c² ; calculei o cosseno de Â, constatando que cos  = cos(180-Â) =1/2 ,logo  é igual 120°; pela lei dos senos tentei :
7/sen (180°-120°) = 5/ Sen x .
-Mas está dando uma pequena discrepância entre o resultado do gabarito e minha resposta;gostaria que demonstrem onde errei.

Chronos

Você cometeu alguns erros:

1) O título da sua questão fala em "Lei dos Senos" e você aplicou a "Lei dos Cossenos"

2) cos ≠ cos(180º - Â) ----> O cosseno de um ângulo no 1º quadrante é positivo e no 2º quadrante é negativo

Faça um desenho do paralelogramo ABCD, sendo AB = CD = 5 e AD = BC = 3, sendo AB o lado inferior e BC o lado direito.
Trace a diagonal AC
Prolongue o lado AB para a direita e trace CH pependicular ao prolongamento de AB para a direita
Seja θ os ângulos agudos do paralelogramo ----> C^BH = BÂD = B^CD = θ
DÂC = A^CD = x

DH = BC.cosθ ----> DH = 3.cosθ
CH = BC.senθ ----> CH = 3.senθ

No triângulo retângulo AHC ----> AH² + CH² = AC² ----> (AB + BH)² + CH² = AC² ----> (5 + 3.cosθ)² + (3.senθ )² ---->

25 + 30.cosθ + 9.cos²θ + 9sen²θ = 7² -----> 25 + 30.cosθ + 9 = 49 ---> cosθ = 1/2 ---> θ = 60º

A^DC + DÂB = 180º ----> A^DC + 60º = 180º ----> A^DC = 120º

Agora sim, vem a Lei dos Senos:

CD/CÂD = AC/senA^DC ----> 5/senx = 7/(\/3/2) ----> senx = 5.\/3/14 ----> senx ~= 0,618 ----> x ~= 38º



(3.cosθ )² +

lei dos cossenos:
5² = 3² + 7 ² - 2.3.7cosx
42cosx = 33
cosx = 33/42

senx = √(1-cos²x)
senx = √ (1 - (33/42)² )
senx = √(675/1764)
senx = 0,6185
x =~ 38º

Obrigado a ambos pelas respostas.