Número complexo

por gustavovitoria Seg 04 Fev 2013, 13:11

Galera minha dúvida é como chegar na resposta a partir da equação no enunciado:

O número complexo z que satisfaz $z^8=16$ e $1 + z+ z^2+z^3+z^4+z^5+z^6+z^7= -6 -3i$
é:

Resposta:
$z=-1+i$

Agradeço desde já
Very Happy

por **Robson Jr.** Seg 04 Fev 2013, 13:42

Soma de PG:

$\small 1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6+z^7=\frac{z^8-1}{z-1}=-6-3i$

z^8 = 16:

$\small \frac{16-1}{z-1}=-6-3i \Rightarrow \frac{5}{z-1}=-2-i \Rightarrow z-1=-\frac{5}{2+i} \Rightarrow \boxed{z=i-1}$

por gustavovitoria Seg 04 Fev 2013, 13:45

Galera consegui fazer, vou deixar aqui pra quem quiser dar uma olhada:

$Sn=a1\frac{q^n-1}{q-1}$

$S8=\frac{1(z^8-1)}{z-1}$

$-6-3i=\frac{z^8-1}{z-1}$

Como
$z^8=16$

Então:
$-6-3i=\frac{15}{z-1}$

$(z-1)=\frac{15}{-6-3i}$

Multiplicando pelo conjugado:

$(z-1)=\frac{15(-6+3i)}{-6-3i(-6+3i)}$

$(z-1)=\frac{15(-6+3i)}{45}$

$(z-1)=\frac{(-6+3i)}{3}$

$(z-1)=(-2+i)$

$z=-1+i$

por gustavovitoria Seg 04 Fev 2013, 13:46

Robson Jr. escreveu:Soma de PG:

$\small 1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6+z^7=\frac{z^8-1}{z-1}=-6-3i$

z^8 = 16:

$\small \frac{16-1}{z-1}=-6-3i \Rightarrow \frac{5}{z-1}=-2-i \Rightarrow z-1=-\frac{5}{2+i} \Rightarrow \boxed{z=i-1}$

Valeu de qualquer forma ae Robson (Y)

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