dados os pontos ...

por Petterson Sáb 02 Fev 2013, 13:43

São dados os pontos A(-6, -8 ) e B(4, 16), determine as coordenadas do ponto C, colinear com A e B, tal que AC/CB = -2/3

Agradecido ..

por **Giiovanna** Sáb 02 Fev 2013, 15:43

Sabendo que A, B e C são colineares, temos que os mesmos pertencem a uma mesma reta e as semirretas AB, BC e AC possuem o mesmo coeficiente angular.
Como conhecemos A e B, podemos calculá-lo:

m = [16-(- 8 .)]/[4-(-6)]= 24/10 = 12/5

Assim, temos que o ponto C(a,b) pertence a um ponto qualquer dessa reta. Mas temos uma condição fornecida pelo enunciado:

3AC = 2CB (não entendi o negativo, AC e CB não são distâncias?)
9AC^2 = 4CB^2 (I)

Vamos fazer a equação da reta utilizando o ponto A e encontrar b em função de a:

b + 8 = 12/5.(a + 6)
b = 12a/5 + 72/5 - 8
b = 12a/5 + 32/5

Acredito que seja agora só aplicar a fórmula de distância de ponto à ponto para achar AC e CB. Como na fórmula (I) eu já deixei tudo ao quadrado, não terá que se preocupar com raíz

A conta vai dar muito grande. Duvido que não exista uma forma mais fácil de fazer este exercício.

por **Elcioschin** Sáb 02 Fev 2013, 15:44

Você postou a questão no local indevido: o correto é Ensino Médio - Geometrria Analítica.

Vou mudar. Por favor poste corretamente suas próximas questões.

Ponto C ----> C(xC, yC)

AC/CB = - 2/3 ----> AC²/CB² = 4/9 -----> 9*AC² = 4*CB² ----> I

Equação da reta AB ----> y - yA = [(yB - yA)/(xB - xA)]*(x - xA) ----> Calcule ----> II

AC² = (xC - xA)² + (yC - yA)² ----> Calcule ----> III

CB² = (xC - xB)² + (yC - yB)² ----> Calcule ----> IV

Substitua III e IV em I -----> Calcule -----> V

Substitua y de II em V e calcule xC e depois calcule yC

Pronto: bem trabalhoso!

por **Elcioschin** Sáb 02 Fev 2013, 15:45

Giovana acabou de entrar na USP e já está rápida no gatilho: ganhou por 1 minuto !!!

por **Giiovanna** Sáb 02 Fev 2013, 15:48

Haha Elcio. Antes fosse Razz

por **Euclides** Sáb 02 Fev 2013, 15:57

Acho que tem um jeito mais simples, já que a proporção se mantém a mesma nos dois eixos coordenados:

$\\\frac{AC}{CB}=\frac{x_C-x_A}{x_B-x_C}=-\frac{2}{3}\;\;\;\;\;\to\;\;\;\;\;3x_C-3x_A=-2x_B+2x_C\\\\\\x_C=3x_A-2x_B\;\;\;\;\to\;\;\;\;x_C={-18-8}\;\;\to\;\;\boxed{x_C=-26}\\\\\\\frac{AC}{CB}=\frac{y_C-y_A}{y_B-y_C}=-\frac{2}{3}\;\;\;\;\;\to\;\;\;\;\;3y_C-3y_A=-2y_B+2y_C\\\\\\y_C=3y_A-2y_B\;\;\;\;\to\;\;\;\;y_C=-24-32\;\;\to\;\;\boxed{y_C=-56}$

Para visusalizar:

dados os pontos ... Fruston

por **Giiovanna** Sáb 02 Fev 2013, 16:05

Bem melhor, Euclides.

Só por curiosidade, você faz esses gráficos no Geogebra ou algum outro programa?

por **Euclides** Sáb 02 Fev 2013, 16:43

Oi Giiovanna,

eu estou usando ( e muito satisfeito) o Graph. Que permite praticamente tudo: redimensionar escalas, ampliar, reduzir, cor de fundo, inserir equações pelo Equatin 3.0 (acoplado), inserir símbolos, etc.

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