Funções

por **LPavaNNN** Seg 28 Jan 2013, 09:57

Seja $f(x)=\frac{2}{4^x+2}$ para quaisquer x real .

calcule $f(\frac{1}{2001})+f(\frac{2}{2001})+...+f(\frac{2000}{2001})$

por **Robson Jr.** Seg 28 Jan 2013, 15:34

Veja o que acontece quando fazemos f(1/2001) + f(2000/2001):

$\small \frac{2}{4^{\frac{1}{2001}}+2}+\frac{2}{4^{\frac{2000}{2001}}+2}=\frac{2.4^{\frac{2000}{2001}}+4+2.4^{\frac{1}{2001}} +4}{(4^{\frac{1}{2001}}+2)(4^{\frac{2000}{2001}}+2)}=\frac{2.4^{\frac{2000}{2001}}+2.4^{\frac{1}{2001}}+8}{2.4^{\frac{2000}{2001}}+2.4^{\frac{1}{2001}}+8}=1$

É fácil ver que o mesmo ocorrerá nos pares equidistantes dos extremos. Como temos 2000/2 = 1000 pares:

$\small \boxed{\sum_{x=\frac{1}{2001}}^{\frac{2000}{2001}}f(x)=1000}$

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