Inequação irracional

por mahriana Qui 10 Jan 2013, 22:25

Resolva em ℝ , a equação:

$\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[3]{x^2-1}$

Spoiler:

por **mauk03** Sex 11 Jan 2013, 02:16

Pelo produto notável $(a-b)^{3}=a^{3}-b^{3}-3ab(a-b)$ , temos que:

$(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1})^{3}=(\sqrt[3]{x+1})^{3}-(\sqrt[3]{x-1})^{3}-3\sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]{x-1}(\sqrt[3]{x^{2}-1})$

Como $(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1})^{3}=(\sqrt[3]{x^{2}-1})^{3}$ , vem:

$(\sqrt[3]{x+1})^{3}-(\sqrt[3]{x-1})^{3}-3\sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]{x-1}(\sqrt[3]{x^{2}-1})=(\sqrt[3]{x^{2}-1})^{3}$
$x+1-(x-1)-3(\sqrt[3]{x^{2}-1})^{2}=x^{2}-1$
$x^{2}-1+3(\sqrt[3]{x^{2}-1})^{2}-2=0$

Fazendo $\sqrt[3]{x^{2}-1}=y$ :

$y^{3}+3y^{2}-2=0$
$(y+1)(y^{2}+2y-2)=0$
$y_{1}=-1, y_{2}=-1-\sqrt{3}, y_{3}=-1+\sqrt{3}$

O único que serve é $y=-1+\sqrt{3}$ :

$\sqrt[3]{x^{2}-1}=-1+\sqrt{3}$
$x^{2}-1=6\sqrt{3}-10$
$x=\pm \sqrt{6\sqrt{3}-9}$

$\dpi{100} S=\left \{ -\sqrt{6\sqrt{3}-9}; +\sqrt{6\sqrt{3}-9} \right \}$

Testei minha solução e a do gabarito passado por vc, e o seu parece estar errado, confira tb pra ter certeza q o erro nao foi meu