Radical duplo

Determine o radical duplo equivalente a seguinte expressão:

Spoiler:

radical duplo pode ser tanto: (raíz)[ A + (raíz)[B] ] quanto (raíz)[ A - (raíz)[B] ]

então nossa função é achar "A" e "B" em função de "a" e "b"

{ (raíz)[a² + ab] - (raíz)[ab] +a } / { (raíz)[a] + (raíz)[a + b] +(raíz)[b] }

devemos em primeiro lugar eliminar as raízes na parte inferior da fração, nós podemos fazer isso atravéz da propriedade:

(x + y)(x - y) = x² - y²

é lógico q tudo q a gente multiplica em baixo, iremos depois multiplicar em cima,
para manter a igualdade. a primeira multiplicação é por:

{ (raíz)[a] + (raíz)[a + b] - (raíz)[b] }

observe q, pela propriedade o x={(raíz)[a] + (raíz)[a + b]} e o y=-(raíz)[b]

vamos esquecer um pouco da parte de cima da fração, e fazer os cálculos da parte inferior... temos então

{ (raíz)[a] + (raíz)[a + b] +(raíz)[b] }{ (raíz)[a] + (raíz)[a + b] - (raíz)[b] }= {2(raíz)[a² + ab] + 2a}

mesmo depois desse calculo ainda temos raíz no denominador, logo deveremos efetuar otra operação com a mesma propriedade:

{2(raíz)[a² + ab] + 2a}{2(raíz)[a² + ab] - 2a} = 4ab

finalmente conseguimos um denominador sem raíz, agora, todas as operações q fizemos no denominador, devemos fazer na parte de cima da fração. então:

{ (raíz)[a² + ab] - (raíz)[ab] +a }{ (raíz)[a] + (raíz)[a + b] - (raíz)[b] }{2(raíz)[a² + ab] - 2a} = { 4ab(raíz)[a + b] - 4ab(raíz)[b] }

enfim dividimos a parte de cima da fração pela parte de baixo, obtendo:

{ 4ab(raíz)[a + b] - 4ab(raíz)[b] } / 4ab = { (raíz)[a + b] - (raíz)[b] }

então temos que :

M = { (raíz)[a + b] - (raíz)[b] }

elevando os dois termos ao quadrado:

M² = a + 2b - 2(raíz)[b² + ab]

logo o radical duplo com o mesmo valor de M é :

M = (raíz)[ a + 2b - 2(raíz)[b² + ab] ]

;D