Álgebra básica

por **Robson Jr.** Seg 07 Jan 2013, 21:10

Sejam x, y e z reais distintos e não nulos. Prove que:

$\small x+y+z=0 \Rightarrow \left ( \frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}+\frac{x-y}{z} \right ) \left ( \frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y} \right )=9$

por **ramonss** Seg 07 Jan 2013, 22:25

z = -(x + y)

$\small x+y+z=0 \Rightarrow \left ( \frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}+\frac{x-y}{z} \right ) \left ( \frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y} \right )=9\\\\\\\left ( \frac{(y-z)yz+(z-x)zx+(x-y)xy}{xyz} \right )\left ( \frac{x(z-x)(x-y)+y(y-z)(x-y)+z(y-z)(z-x)}{(y-z)(z-x)(x-y)} \right )=\\\\\\=\left ( \frac{(y+x+y)y(-x-y)+(-x-y-x)(-x-y)x+(x-y)xy}{xy(-x-y)} \right )\left ( \frac{x((-x-y)-x)(x-y)+y(y+x+y)(x-y)+(-x-y)(y+x+y)(-x-y-x)}{(y+x+y)(-x-y-x)(x-y)} \right )$

$\\\left ( \frac{(y+x+y)y(-x-y)+(-x-y-x)(-x-y)x+(x-y)xy}{xy(-x-y)} \right )\left ( \frac{x(-2x-y)(x-y)+y(2y+x)(x-y)+(-x-y)(2y+x)(-2x-y)}{(2y+x)(-2x-y)(x-y)} \right )=\\\\=\left ( \frac{-3xy^2-x^2y-2y^3+2x^3+3x^2y+xy^2+x^2y-xy^2}{xy(-x-y)} \right )\left ( \frac{-2x^3+x^2y+xy^2+x^2y+xy^2-2y^3+2 x^3+7 x^2 y+7 x y^2+2 y^3}{-3x^2y-2x^3+3xy^2+2y^3} \right )\\\\\\=\left ( \frac{-3xy^2+3x^2y-2y^3+2x^3}{-x^2y-xy^2} \right )\left ( \frac{9x^2y+9xy^2}{-(-3x^2+3x^2y-2y^3+2x^3)} \right )=\left ( \frac{9(x^2y+xy^2)}{x^2y+xy^2} \right )$

E finalmente:

$Álgebra básica Gif$

Por favor, não me apareça com uma solução de 2min Razz

hehe, brincadeira, se tiver, mostre

por **Robson Jr.** Seg 07 Jan 2013, 23:27

Dei duas soluções para essa questão: uma "simples" e a outra envolvendo fatorações que provavelmente só eu decorei. Razz

Eis a primeira delas:

Spoiler:

por **Leonardo Sueiro** Ter 08 Jan 2013, 19:14

Ué :scratch:

Você já tem a solução ... Por que o tópico ? cheers

por **ramonss** Ter 08 Jan 2013, 19:23

Pra nossa curiosidade Smile

por **Leonardo Sueiro** Ter 08 Jan 2013, 19:30

Oxi ...

por **Robson Jr.** Ter 08 Jan 2013, 19:49

Leo, ao compartilhar questões aqui no forum estou quase sempre buscando maneiras alternativas de resolver o problema. Quando alguém resolve diferentemente de mim, coloco a minha solução para que essa pessoa veja. Se a questão fica muito tempo sem resposta (geralmente 1 semana), eu também coloco minha solução, mas agora pensando em quem não conseguiu resolver.

Costumava criar tópicos na área de desafio, mas em "álgebra" o resultado tem sido melhor.