Funções

por mahriana Qui 03 Jan 2013, 07:50

Demonstre que $f$ , definida no intervalo $0< x< s (s> 0)$ do seguinte modo :

$f(x)= \frac{2x-s}{x(s-x)}$

é uma função bijetora desse intervalo nos reais

por **LPavaNNN** Qui 03 Jan 2013, 16:26

PAra a função ser sobrejetora, tem que existir um f(x), para todo x:

$f(x)= \frac{2x-s}{x(s-x)}\\x(s-x)\neq 0\\x\neq 0\\s-x\neq 0\\s\neq x$

estas são as condições para ser sobrejetora, como 0 e s n está contida no intervalo dado, é sobrejetora.

para ser injetora, n pode ter nenhum y ( imagem), ligando-se a dois de x( domínio).

$\frac{2x_1-s}{x_1(s-x_1)}=\frac{2x_2-s}{x_2(s-x_2)}\\\\x_2(s-x_2).(2x_1-s)=(2x_2-s).x_1(s-x_1)\\\\2x_2.s.x_1-x_2.s^2-2x_1.x_2^2+x_2^2.s=2x_1.s.x_2-x_1.s^2-2x_2.x_1^2+x_1^2.s\\s^2(x_1-x_2)+2s(x_2x_1-x_1x_2)+2x_1x_2(x_1-x_2)=0\\(x_1-x_2)(s^2+2x_1x_2)=0$

ai temos que... se a única possibilidade para a equação ser válida, for x_1=x_2, então, é injetora, se tiver outra possibilidade então n é, pois, ai, teríamos, 2 x diferentes para um mesmo y.

$(x_1-x_2)(s^2+2x_1x_2)=0\\x_1-x_2=0\\x_1=x_2\\ou\\s^2+2x_1x_2\\s=\sqrt {-2x_1x_2}\\x_1>0, x_2>0\\x_1.x_2>0\\-2x_1x_2<0$

Ou seja, n pertence aos reais, portanto, a única solução seria x_1=x_2, haveria solução, se alguns dos x's, fossem menor que 0, ai o n[umero dentro da raiz seria positivo, e portanto, haveria dois x's diferentes, para um mesmo y, espero que tenha entendido.

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