Inequação quadrática

por mahriana Qui 27 Dez 2012, 23:25

Determine m para que se tenha para qualquer valor de x pertencente aos reais

$-3< \frac{x^2 + mx -2}{x^2 - x+1}< 2$

Gostaria de todas as passagens detalhadas, por favor, pois estou com problemas no desenvolvimento do exercicío depois que chego a:

$\frac{x^{2} \, + \, mx \, - \, 2}{x^{2} \, - \, x \, + \, 1} \, > \, - \, 3 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \frac{4x^{2} \, + \, \left(m \, - \, 3\right)x \, + \, 1}{x^{2} \, - \, x \, + \, 1} \, > \, 0$

e

$\frac{-x^{2} \, + \, \left(m \, + \, 2\right)x \, - \, 4}{x^{2} \, -\ \, x \, + \, 1} \, < \, 0 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, -x^{2} \, + \, \left(m \, + \, 2\right)x \, - \, 4 \, < \, 0 \\ \\ \,\,\,$

Gabarito : $-1<m<2$

por **Elcioschin** Sex 28 Dez 2012, 09:06

Note que (x² - x + 1) é sempre positiva, pois a função tem raízes complexas e a parábola tem concavidade voltada para cima. Logo o sinal de cada inequação depende apenas do sinal do numerador.

1) Domínio da 1ª ----> 4x² + (m - 3)x + 1 > 0

Discriminante ---> ∆ = (m - 3)² - 4*4*1 ---> ∆ = m² - 6m - 7 ----> Raízes m = - 1 e m = 7

Solução ---> - 1 < m < 7

2) Domínio da 2ª ----> - x² + (m + 2)x - 4 < 0

Discriminante ---> ∆ = (m + 2)² - 4*(-1)*(-4) ---> ∆ = m² + 4m - 12 ----> Raízes m = - 6 e m = 2

Solução ---> - 6 < m < 2

3) Interseção dos dois conjuntos ----> -1 < m < 2

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