teoria dos numeros

O numero de 4 digitos 2pqr é multiplicado por 4 e o resultado é um numero de 4 digitos rqp2
.pode se afirmar que p+q=?

Spoiler:

O menor algarismo de milhar para 4.(2pqr) = rqp2 é 8, portanto necessariamente r = 8 ou r = 9

Procedimento padrão e manjadíssimo para questões envolvendo algarismos:

4(2000 + 100p + 10q + r ) = 1000r + 100q + 10p + 2
⇒ 7998 + 390p = 60q + 996
⇒ 1333 + 65p = 10q + 166r

Dividamos em casos.

r = 8: 1333 + 65p = 10q + 1328 ⇒ 5 + 65p = 10q ⇒ 1 + 13p = 2q

Se p = 0, q é não-inteiro (absurdo);
Se p = 1, 2q = 14 ⇒ q = 7, isto é, p + q = 8;
Se p ≥ 2, q > 9 (absurdo para um algarismo).

r = 9: 1333 + 65p = 10q + 1494 ⇒ 65p = 10q + 161 ---> (13p - 2q) = 161/5

13p - 2q é um inteiro, mas está igualado a um não-inteiro. Absurdo.

A única possibilidade é p + q = 8, que corresponde ao número 2178.

2pqr multiplicado por 4 dá rqp2

Das casas "unidade de milhar", tiramos que r = 8 ou r = 9 (20x4 = 8000 ou 2400x4=9600)
Das casas de "unidade" tiramos que, entre 8 e 9, r = 8 (8x4 = 32)

Os números são:
2pq8
e
8qp2

Os resultado do produto deve ter 4 algarismos então
4x < 9999
x < 2499
portanto
p é menor ou igual a 4

q.4 + 3 = 10x + p
q pode ser 0, então p = 3 ---> x = 0
q pode ser 1. entao p = 7 (NÃO SERVE)
q pode ser 2, então p = 1 ---> x = 1
q pode ser 3, então p = 5 (não serve)
q pode ser 5, então p = 3 ---> x = 2
q pode ser 6, então p = 7 (não serve)
q pode ser 7, então p = 1 ---> x = 3

São 4 possibilidades aqui. continuando:
4p + x = q
Agora basta testar qual das 4 dá certo, no caso a última, pois
4.1 + 3 = 7

Então
p = 1 ---> q = 7
1 + 7 = 8

(não ficou muito boa, mas tá ai)

beleza entendi!valeu robson!

valeu tambem ramonss!

ai robson por que r=9?

O quádruplo de 2pqr pode ser da forma 8??? ou 9???. Daí rqp2 começa com 8 ou 9.

eu nao entendi esta parte!

2pqr é um número maior ou igual a 2000, portanto o quádruplo dele, rqp2, é maior ou igual a 8000 (daí a possibilidade r = 8 ). Dependendo do algarismo das centenas, também é possível que o quádruplo ultrapasse 9000 (daí r = 9).

Boa tarde para todos!

I) Provando ser r=8:

4 * 2pqr = rqp2

Se o produto de 4 por "r" deve terminar em 2 (rqp2), então temos:
r=3 ou r=8.

Procurando efetuar o produto 4 * 2pqr, fica:
2pqr
. x 4
-----
8qp2

O que confirma ser r=8.

II) Continuando a partir da resolução do Robson Jr.:

1 + 13p = 2q → equação diofantina (2 incógnitas, 1 só equação)

q = (1 + 13p)/2 = (1 + 12p + p)/2 = 6p + (1+p)/2

Sendo "p" e "q" inteiros, obviamente também o quociente de (1+p)/2 deverá sê-lo! Faremos, então, essa fração igual a "m":

(1+p)/2 = m
1+p = 2m
p = 2m-1

Fazendo p=2m-1 na equação supra de "q", fica:
q = (1 + 13p)/2
q = [1 + 13(2m-1)]/2 = (1 + 26m - 13)/2 = (26m - 12)/2
q = 13m - 6

Ora, além de "p" e "q" serem inteiros, deverão também ser positivos.
Logo, vem:
p → 2m - 1 > 0 → 2m > 1 → m > 1/2 → m ≥ 1
q → 13m - 6 > 0 → 13m > 6 → m > 6/13 → m ≥ 1

Assim, deveremos ter m ≥ 1.
Ora, poderemos ter m=1, mas não m=2, porque senão teríamos:
q = 13*2 - 6 = 26 - 6 = 20 → o que ultrapassaria q (máx) = 9.

Logo, certamente m=1, donde:

p = 2m - 1 = 2*1 - 1 = 1
q = 13m - 6 = 13*1 - 6 = 7

Conclusão:
p+q = 1+7 = 8

E o número em questão é 2178







Um abraço.