Demonstração da Relação de Stifel

por **denisrocha** Dom 09 Dez 2012, 17:05

o objetivo do tópico é provar a relação de Stifel, comumente usada em expressões binomiais:

$\mathbf{{{m} \choose {p}}={{m-1} \choose {p-1}}+ {{m-1} \choose {p}}}$

é necessário conhecer a relação de Fermat (https://pir2.forumeiros.com/t38866-relacao-de-fermat-demonstracao#137843) p/ entender a dedução aqui presente

vamos lá:

da relação de Fermat:

$\\ \mathbf{\binom{m-1}{p} = \left ( \frac{m-p}{p} \right )\cdot \binom{m-1}{p-1}}$

reescrevendo o segundo membro da relação que se deseja provar:

$\\ \mathbf{\binom{m-1}{p-1} + \binom{m-1}{p} = \binom{m-1}{p-1} + \binom{m-1}{p-1}\cdot \left ( \frac{m-p}{p} \right )} \\ \\ \\ \mathbf{\binom{m-1}{p-1} + \binom{m-1}{p-1}\cdot \left ( \frac{m-p}{p} \right ) = \binom{m-1}{p-1}\left [ 1 + \left (\frac{m - p}{p} \right ) \right ]} \\ \\ \\ \mathbf{\binom{m-1}{p-1}\left [ 1 + \left (\frac{m - p}{p} \right ) \right ] = \left (\frac{(m-1)!}{(p-1)!\cdot(m - p)!} \right )\cdot \left ( \frac{m}{p} \right )} \\ \\ \\ \mathbf{\left (\frac{(m-1)!}{(p-1)!\cdot(m - p)!} \right )\cdot \left ( \frac{m}{p} \right ) = \frac{m!}{p!\cdot (m-p)!}}$

$\mathbf{\therefore \ \frac{m!}{p!\cdot (m-p)!} = \binom{m}{p}}$

por R. Coelho Dom 09 Dez 2012, 17:07

hehe essa foi boa!

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