Elipse

por Everton Maia Qua 21 Nov 2012, 08:39

Encontrar equação da elipse de centro (0,0), eixo maior sobre Ox, excentricidade 1/2 que passa pelo ponto (2,3).

Resposta: 2x² + y² = 16

por **hygorvv** Qua 21 Nov 2012, 10:07

Equação da elipse:
x²/a²+y²/b²=1 (supondo a>b)
e=c/a
mas, c=sqrt(a²-b²)/a
e=sqrt(1-b²/a²)
1/2=sqrt(1-b²/a²
1/4=1-b²/a²
b²/a²=3/4
b²=3a²/4

Substituindo na equação da elipse
x²/a²+y²/3a²/4=1
x²/a²+4y²/3a²=1
substtui o ponto dado
4/a²+4.9/3a²=1
4/a²+12/a²=1
a²=16
logo, b²=12

Substituindo:
x²/16+y²/12=1

Espero que ajude e seja isso.

por **Leonardo Sueiro** Qua 21 Nov 2012, 10:10

Veja que essa resposta não condiz com o ponto (2,3)
Tem certeza dela?

c/a = 1/2
a = 2c

equação reduzida:
x²/a² + y²/b² = 1

que passa pelo ponto (2,3).

4/a² + 9/b² = 1
4b² + 9a² = a²b² ( 1)

a² = b² + c²
a² = b² + a²/4
b² = 3a²/4
b = a√3/2 (2)

2 em 1
4(a√3/2)² + 9a² = a²(a√3/2)²
3a² + 9a² = a²a²3/4
12 = a²3/4
a² = 16
a = 4

b = 2√3

x²/16 + y²/12 = 1

por **Leonardo Sueiro** Qua 21 Nov 2012, 10:11

Essa sua resposta é uma hipérbole parecida, mas girada de 90º em relação ao eixo x

por **hygorvv** Qua 21 Nov 2012, 10:15

A resposta que ele postou está errada uma vez que não contém os pontos dados no enunciado.

por Everton Maia Qua 21 Nov 2012, 10:18

O desenvolver da questão é esse mesmo, o negocio é que o professor deu como gabarito 2x² + y² = 16... Tenho quase certeza que ele passou o gabarito errado.

Obrigado mais uma vez amigos, vou procurar saber na proxima aula dele, qualquer coisa posto aqui o correto caso ele tenha errado.

Abraços

por **Leonardo Sueiro** Qua 21 Nov 2012, 10:20

Claro que está errado
Elipse Semttulokiw

por Everton Maia Dom 25 Nov 2012, 09:59

Galera esta questão é do livro: Vetores e Geometria Analitica - Paulo Winterle. Fiz o download aqui, é a questão 48 do capitulo Elipse, e na resposta do livro esta: 3x² + 4y² = 48.