Circunferencia inscrita

por puiff Qua 14 Nov 2012 - 16:36

Na figura a seguir, as circunferências de raio 2 são tangentes às outras duas e a dois lados do triângulo. As circunferências de raio r são tangentes a dois lados e a uma circunferência maior.

Circunferencia inscrita Semttulorcb

Calcular:
a) S, área do triangulo ABC.
b)r, raio das circunferencias menores.

gabarito: a)8√3(2+ √3) b)2/3

por **raimundo pereira** Qua 14 Nov 2012 - 17:33

Puiff

- olhe o desenho com boa vontade.
No triângulo pequeno da esquerda você calcula o maior cateto que vale 2V3, pois é uma triângulo retângulo 30/60/90°.
Assim , por simetria ,o lado do Triângulo equilátero ABC mede 2V3+4+2V3= 4=4V3
A área do triângulo equilátero é S=L²V3/4 --> S=(4+4V3)²/4 = 16V3 + 24

Para achar o r trabalhe com o mesmo triângulo e faça uma semelhança entre os dois triângulos pequenos , usando R=2 e considerando os dois triângulos 30/60/90º.

Se complicar faço um desenho a parte destes dois triângulos pequenos.

Att

por **Euclides** Qua 14 Nov 2012 - 18:06

Para a área do triângulo grande temos ainda outro caminho:

Circunferencia inscrita Circ_incrjpeg

a circunferência vermelha é inscrita no triângulo azul:

$\\\frac{a+\frac{a}{2}+\frac{a\sqrt{3}}{2}}{2}\cdot 2=\frac{a}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}\;\;\;\;\;\;\to\;\;\;\;\;\;\frac{3a+a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{8}\\\\3+\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{4}\;\;\;\to\;\;\;a=4(\sqrt{3}+1)\\\\S=\frac{1}{2}a^2sen(60)\;\;\;\to\;\;\;S=8(2\sqrt{3}+3)=\boxed{8\sqrt{3}(2+\sqrt{3})}$

por **raimundo pereira** Qua 14 Nov 2012 - 18:13

Puiff ,
Quando fiz a figura para calcular o r, ví que não dá para fazer como falei. Vamos ter pensar mais um pouco ou outro colega veja a solução.

Att

por puiff Qua 14 Nov 2012 - 18:27

Também percebi que não estava dando certo quando tentei fazer os cálculos. Vou tentar de outro modo, obrigada pela ajuda.

por **Adam Zunoeta** Qua 14 Nov 2012 - 18:43

Aproveitando a figura do raimundo pereira:

Circunferencia inscrita 973e51

No triângulo pequeno:

sen30°=r/(r+x) ---> x=r

No triângulo grande:

(2+3r)²=2²+(2V3)² ---> r=2/3

por **raimundo pereira** Qua 14 Nov 2012 - 18:53

vlw Adam, sem cometários .Eu já tinha encontrado uma solução bem mais complicada.
Obrigado a você e ao mestre Euclides pelo enriquecimento do tema.
Att