Soma dos termos equidistantes

Relembrando a primeira mensagem :

Em uma progressão aritmética a soma dos termos de ordem ímpar é 573, e a soma dos termos de ordem par é 549. Quanto vale a soma de dois termos equidistantes dos extremos dessa progressão?


A ) 12
B ) 24
C ) 48
D ) 56
E ) 68

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Essa achei a resposta mas acho que não fiz do melhor jeito.. deu muito trabalho, muita conta quebrada.... Acho que dá pra fazer de outro jeito bem mais rápido e melhor... tentei mas não consegui me enrolei toda... aí fiz o ímpar sendo 2n+1 e o par 2n.

Pros termos de ordem ímpar a soma ficou: S_2n+1 = 573 --> (2n+1)(a₁+an) = 1146 ==> a₁ + an = 1146/2n+1

Depois fiz a mesma coisa com o par, igualei as equações e o n deu 11 e pouco, aí arredondei pra 11... depois substitui numa das 2 equações pra achar a soma aí deu 49,9 arredondando. letra c)

Como que faz pra resolver de outro jeito?

Muito obrigada

Olá, amigos, uma boa tarde para todos!

Realmente os dados deste problema não são coerentes, não permitem uma solução.
Os únicos valores do gabarito que poderiam ser utilizados para (a1+an) seriam o 12 e o 68, para os quais "n" teria o valor 187 ou 33. Mesmo assim, somente conseguiríamos resultados com o par 68 e 33.

Isso, fatorando-se o número 2244, que seria proveniente de:
S = [(a1+an)*n] = 2*(573+549) = 2*1122 = 2244.

Pois 2244 = 2² x 3 x 11 x 17 e cujos divisores (24) são:
1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 17, 22, 33, 34, ,44, 51, 66, 68, 102, 132, 187, 204, 374, 561, 748, 1122 e 2244.

Usando-se 68 para (a1+an) e 33 para (n), obteríamos a seguinte P.A., a qual, porém, não se ajusta aos dados fornecidos pelo problema:

PA(1): 2 . 6 . 10 . 14 . 18 . ... . 62 . 66 → S1=(2+66)*17/2=68*17/2=34*17 = 578
..PA(2): 4 . 8 . 12 . 16 . 20. ...60 . 64 → S2=(4+64)*16/2=68*16/2=34*16 = 544

Outro par de divisores de 2244 que poderiam "gerar" uma P.A. seria o par (44*51):

PA(3): 2 . 3,6 . 5,2 . 6,8 . ... 40,4 . 42 → S3=(2+42)*26/2=44*26/2=22*26 = 572
..PA(4): 2,8 . 4,4 . 6,0 . 7,6 . ... 41,2 → S4=(2,8+41,2)*25/2=44*25/2=22*25 = 550

Estes valores obtidos para a soma dos termos das PA's 1 a 4 são muito próximos dos fornecidos pelo problema, mas em matemática aproximações de nada valem...(rsrs)!



Um feliz final de semana para todos, com as bênçãos do Senhor Jesus!

Meu cumprimentos, caro Ivomilton

minha opinião era a de que não poderia existir a PA com aquelas somas, o que você acaba de nos mostrar com muita competência. Acho que isso põe um ponto final ao exercício, que afinal de contas foi resolvido pois a sua inconsistência está estabelecida.

Cam, minha querida, que material de estudo é esse que você está usando?

abraços,

euclides

Oi gente!

É essa questão infelizmente tem erro mesmo né....

Muito obrigada mesmo a vcs 4 pela tentativa em ajudar, tentando resolver essa questão também!
Agradeço muito ao ivomilton por nos mostrar com detalhes o porquê do erro! E agradeço muito ao Paulo também, apesar dessa questão no caso ter erro, era esse método aí mesmo que eu tava procurando pra resolver questões desse tipo, bem rápido ideal num concurso!!

Então Euclides, eu procuro ficar fazendo basicamente as questões desses vestibulares, já na área militar da AFA e Efomm... E quando me deparo com alguma questão que parece estranha, posto aqui no fórum pra obter ajuda de vcs que são todos foras de série, sem exceção! Já que na maioria das vezes, era eu que estava fazendo algo errado na questão....
Mas tipo.. 90% da questões que postei que tinham erro eram da Efomm rss, algumas são de uns vestibulares por aí. Mas mesmo no final, se a questão tiver erro mesmo, sempre saio daqui aprendendo alguma coisa com vcs, como nesse caso.

Muito obrigada mesmo pela ajuda de vcs!!

Re: P.A. - (soma)
ivomilton o Qui Ago 20, 2009 9:46 pm

.P.A. - (soma)
Paulo Testoni Ontem à 3:57 pm

ACREDITO QUE ESTE TIPO DE SOLUÇÃO NÃO FOI ANALISADA POR TODOS.

.Em uma progressão aritmética a soma dos termos de ordem ímpar é 573, e a soma dos termos de ordem par é 549. Quanto vale a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos dessa progressão? (A) 12 (B) 24 (C) 48 (D) 56 (E) 68

Caro Paulo,

Essa PA poderá ter uma quantidade ímpar de termos, ou uma quantidade par.
Se considerarmos que tenha uma quantidade ímpar, então se a subdividirmos em duas PAs, resultará que a de ordem ímpar teria um termo a mais que a de ordem par, e a soma dos termos extremos de ambas terá o mesmo valor:
_a1_......_a3_......_a5_........_a7_....._a9_ → S = 573
......_a2_......_a4_.....-._a6_......_a8_...... → S = 549

Conforme diagrama acima, a1+a9 = a2+a8 = "a1+an" na fórmula da soma.
Como número de termos, irei utilizar, para a S(ímpar), "k+1" e para a S(par), "k".
Logo, para as duas semi-progressões supra, teremos:

Si = (a1+a9)*(k+1) = 573
Sp = (a2+a8)*k = 549

Dada a igualdade entre as somas dos termos extremos de ambas, poderemos escrever:

573/(k+1) = 549/k

573*k = 549*(k+1) = 549*k + 549
k*(573-549) = 549
k = 549/24 = 22,875

Por termos obtido um número fracionário para "k", isso prova que a quantidade de termos da PA é par, que poderá ser então subdividida em duas PAs com número ímpar ou par de termos.

Se cogitarmos de ela ter número par de termos, teríamos:

_a1_......_a3_......_a5_......_a7_
......_a2_......_a4_......_a6_......_a8_

a1........a1+2r........a1+4r........a1+6r ------- S = 4a1 + 12r = 573 ..... [1]
....a1+r.........a1+3r........a1+5r........a1+7r -- S = 4a1 + 16r = 549 .... [2]

Subtraindo [1] de [2], fica:

4r = –24
r = –6

4a1 + 12r = 573
4a1 + 12(–6) = 573
4a1 – 72 = 573
4a1 = 573 + 72 = 645
a1 + 645/4 = 161,25

Teríamos, então as seguintes semi-progressões:

Si : 161,25 . 149,25 . 137,25 . 125,25 --- S = 573
Sp : 155,25 . 143,25 . 131,25 . 119,25 -- S = 549

Contudo, se as semi-progressões tiverem um número ímpar de termos, não teremos valores fracionários, mas, em nenhuma das tentativas, consegui que a soma dos termos equidistantes dos extremos fosse um valor tão baixo como os fornecidos pelo gabarito!!!

Fazendo n=6 para a PA completa, obtive os seguintes valores para os termos:

a1 .........a1–16..........a1–32......... -- Si=3a1–48=573 → 3a1=573+48=621 → a1=207
......a1–8 .........a1–24 .........a1–40 -- Sp=3a1–72=549 → 3a1=549+72=621 → a1=207

E teremos a seguinte PA (reunida) com valores inteiros:
: 207 . 199 . 191 . 183 . 175 . 167
ordem ímpar = 207 + 191 + 175 = 573
ordem par = 199 + 183 + 167 = 549

Haveria, mesmo, uma solução entre as apresentadas pelo gabarito??

NOTA -Tive muita luta para escrever esta solução, porque a partir de certa altura a tela pula "de volta". Algum problema com o programa? Ou o que será?


Um abraço,
Ivomilton

Hola Ivomilton.

Creio que tudo que eu disser não vou conseguir descrever a grandeza do seu raciocínio. De um coisa eu tenho certeza vc cresce a todo instante que passa.

Caríssimo amigo Paulo.

Nem mesmo deves te preocupar com isso, porque tudo isso é um dom natural que o Senhor me deu e que devo repartir o melhor possível. Desde criança tenho gostado muito de cálculos e de certos desafios numéricos. Veio dEle e a Ele pertence. Toda glória, pois, seja para Aquele que deu Sua vida por mim. (João 10:11)
Um grande e forte abraço,
Ivo