Soma das raízes da função

por Dinheirow Dom 04 Nov 2012, 18:23

A função f : ℝ → ℝ satisfaz a relação f(2+x) = f(2-x), ∀x ∈ ℝ.
Se f(x) = 0 tem exatamente quatro raízes, então a soma das raízes vale:
a)0
b)2
c)4
d)6
e)8

Spoiler:

:bounce:

por danjr5 Dom 04 Nov 2012, 19:27

$\\ f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \\ f(2 + x) = f(2 - x) \\\\ \begin{cases} f(2 + x) = a({\color{Red} 16} + 32x + {\color{Red} 16x^2} + 8x^3 + {\color{Red} x^4}) + b({\color{Red} 8} + 12x + {\color{Red} 6x^2} + x^3) + c({\color{Red} 4} + 4x + {\color{Red} x^2}) + d({\color{Red} 2} + x) + {\color{Red} e} \\ f(2 - x) = a({\color{Red} 16} - 32x + {\color{Red} 16x^2} - 8x^3 + {\color{Red} x^4}) + b({\color{Red} 8} - 12x + {\color{Red} 6x^2} - x^3) + c({\color{Red} 4} - 4x + {\color{Red} x^2}) + d({\color{Red} 2} - x) + {\color{Red} e} \end{cases} \\\\ 32ax + 32ax + 8ax^3 + 8ax^3 + 12bx + 12bx + bx^3 + bx^3 + 4cx + 4cx + dx + dx = 0 \\ 16ax^3 + 2bx^3 + 64ax + 24bx + 8cx + 2dx = 0 \\ (16a + 2b)x^3 + (64a + 24b + 8c + 2d)x = 0 \\\\ \begin{cases} 16a + 2b = 0 \\ 64a + 24b + 8c + 2d = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 8a + b = 0 \\ 32a + 12b + 4c + d = 0 \end{cases} \textup{tomemos} \, \boxed{a = - 1} \, \textup{e} \, \boxed{b = 8} \\\\ \textup{teremos} \, 4c + d = - 64$

$\textup{fazendo} \, \boxed{d = 0} \, \textup{temos} \, \boxed{c = - 16}.$

Daí,

$\\ f(x) = - x^4 + 8x^3 - 16x^2 + e = 0 \\\\ \textup{Logo,} \\\\ S = - \frac{b}{a} \\\\\\ S = - \frac{8}{- 1} \\\\\boxed{\boxed{S = 8}}$

por danjr5 Dom 04 Nov 2012, 19:32

Dinheirow,
o sistema de variáveis a, b, c e d é indeterminado (nº incógnitas > nº equações), por isso pude atribuir valores às incógnitas (satisfazendo as condições, é claro!)

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