Fuvest 2010 - Funções

por padmeamidala Qua 31 Out 2012, 17:15

A função f:R---> R tem como gráfico uma parábola e satisfaz f(x+1) - f(x) = 6x - 2 para todo o número real x. Então, o menor valor de f(x) ocorre quando x é igual a:

Então, resolvi assim:

a(x -1)² + b(x + 1) + c - ax² - bx - c = 6x - 2
ax² + 2ax + a + bx + b + c - ax² - bx - c = 6x -2
2ax + a + b = 6x - 2
x(-2a + 6 ) - 2 = a + b
-2a + 6 = 0 a + b = -2
2a = 6
a = 6/2 = 3

Xv = - b / 2a = 5/6

Minha dúvida é se as partes que grifei estão corretas ou incompletas. Obrigada!

por **Euclides** Qua 31 Out 2012, 17:33

padmeamidala escreveu:x(-2a + 6 ) - 2 = a + b

até aí, tudo bem. Agora essa expressão deve ser verdadeira independentemente do valor de x. Então, de fato, -2a+6=0 e você fez direitinho.

Calculado a, chega-se ao vértice.

por danjr5 Qua 31 Out 2012, 17:34

Padmeamidala,
boa tarde!

$\\ \begin{cases} f(x) = ax^2 + bx + c \\ f(x + 1) = a(x + 1)^2 + b(x + 1) + c \end{cases} \\\\ f(x + 1) - f(x) = 6x - 2 \\\\ a(x^2 + 2x + 1) + b(x + 1) + c - (ax^2 + bx + c) = 6x - 2 \\\\ ax^2 + 2ax + a + bx + b + c - ax^2 - bx - c = 6x - 2 \\\\ 2ax + a + b = 6x - 2 \\\\ 2ax + (a + b) = 6x - 2 \\\\ \begin{cases} 2a = 6 \Rightarrow \boxed{a = 3} \\ a + b = - 2 \Rightarrow \boxed{b = - 5}\end{cases}$

$\\ \begin{cases} 2a = 6 \Rightarrow \boxed{a = 3} \\ a + b = - 2 \Rightarrow \boxed{b = - 5}\end{cases} \\\\\\ f(x) = ax^2 + bx + c \\ f(x) = 3x^2 - 5x + c \\\\ X_v = - \frac{b}{2a} \\\\\\ \boxed{\boxed{X_v = \frac{5}{6}}}$

Confere!!!

por aprentice Qui 01 Nov 2012, 02:02

f(x+1)-f(x) = 6x - 2
f(x) = ax² + bx + c (até porque toda relação de recorrencia da forma x*a[n] + y*a[n-1] = p(n) tem como solução um polinomio 1 grau maior que p(n)).
f(0) = c
Da relação de recorrencia:
f(1) - c = -2 => a + b = -2 (I)
c - f(-1) = -8 => -a + b = -8 (II)

(I) + (II): 2b = -10 => b = -5
Subst. b em (I): a - 5 = -2 => a = 3

x[v] = 5/6

por NataliaVilela Qui 10 Nov 2016, 08:40

Minha resolução foi bem diferente, agi meio que por instinto e obtive a mesma resposta. Alguém pode me dizer se meu pensamento teve fundamento ou foi apenas coincidência?

Bom, eu fiz (x+1)(6x - 2) que resultou em 6x^2 - 4x - 2.

Dai, eu tornei a equação original e substitui o f(x + 1) por 6x^2 - 4x - 2.

E ficou no seguinte: 6x^2 - 4x - 2 - f(x) = 6x - 2.

Por fim, obtive o resultado: f(x) = 6x^2 - 10x

Ai usei a fórmula do x do vértice: -b/2a --> x do vértice: - (-10)/2(6) --> x do vértice = 5/6

Obrigada, desde já.

por **Elcioschin** Qui 10 Nov 2016, 10:05

Sua 1ª linha tem um erro: (x + 1).(6x - 2) = 6.x² + 4.x - 2

por NataliaVilela Qui 10 Nov 2016, 10:10

Elcioschin escreveu:Sua 1ª linha tem um erro: (x + 1).(6x - 2) = 6.x² + 4.x - 2

Nossa, como eu sou lerda. Shocked

Obrigada, Senhor Elcioschin.

por Ceruko Seg 03 maio 2021, 11:11

Fiquei bem confuso nessa parte: 2ax + (a + b) = 6x – 2; ⇔ a = 3 e b = –5

Esse tipo de resolução é comum em funções? Eu simplesmente igualar o termo que multiplica x (2a) ao 6?