(EsPCEx 2012) figura formada pelos afixos

por rodrigomr Qui 18 Out 2012, 19:27

A figura geométrica formada pelos afixos das raízes complexas da equação x³= 8 tem área igual a:

gabarito: 3√3

por rodrigomr Qui 18 Out 2012, 19:57

por **Elcioschin** Qui 18 Out 2012, 20:20

x^3 = √8 ----> x^3 = 8^(1/2) ----> x^3 = (2^3)^(1/2) ---> x^3 = 2^(3/2) ----> x = 2^(1/2) ---> x = √2 ---> Raiz real

Aplicando Briott-Ruffini para esta raiz ----> x^3 - 2*√2 = 0

----| 1 ....... 0 .........0 ........... -2√2
√2| 1 ......√2 ....... 2 ............... 0

Restou x² + √2x + 2 = 0 ------> ∆ = (√2)^2 - 4*1*2 ----> ∆ = 2 - 8 ----> ∆ = - 6 ----> ∆ = i√6

Raízes ----> x = - √2/2 ± i√6/2

Plote as três raízes no Diagrama de Argand-Gauss: √2 ; - √2/2 + i\/6/2 ; - √2/2 - i\/6/2

A base deste triângulo vale b = √6 e a altura h = 3√2/2

S = b*h/2 ----> S = √6*(3√2/2)/2 ----> S = 3√12/4 ---> S = 3*(2*√3)/4 ----> S = 3*√3/2

Não coincidiu com o gabarito (deu a metade)

Por favor

a) Confira minhas contas
b) Verifique se o enunciado está correto
c) Se estiver tudo certo, o gabarito deve estar errado

por DeadLine_Master Qui 18 Out 2012, 20:45

Mestre Elcioschin, suas contas estão corretas. Meu resultado também não coincidiu com o gabarito

..................

Outro modo de resolver

O polígono em questão será um triângulo equilátero de lado L medindo dx1,x2, onde dx1,x2 representa a distância entre duas raízes distintas da equação x³= √8. Fazendo z = √8, temos:

|z| = √8
arg z = 0

As raízes da equação serão dadas por:

xn = √2(cos 2k∏/3 + isen 2k∏/3)

Duas dessas raízes serão: x1 = √2 e x2 = -√2/2 + i√6/2
Portanto para a medida do lado do triângulo temos:

L = dx1,x2 = √[(√2 + √2/2)² + (√6/2)²] = √6

A área S será portanto:

S = L²*√3/4 = 6*√3/4 = 3*√3/2