Maximo,Minimo e sela

por WNavarro Qui 18 Out 2012, 17:01

Achar pontos de maximos,minimos e de sela da função:

f(x,y)=x²y²+2(x-y)

grato,quem puder ajudar.

por aprentice Qui 18 Out 2012, 19:16

∂f/∂x = 2xy² + 2
∂f/∂y = 2x²y - 2

2xy² + 2 = 0 => xy² = -1
2x²y - 2 = 0 => 2x²y = 2 => x²y = 1

Fica evidente que, nos reais, a única solução é: (-1,1).

∂²f/∂x² = 2y²
∂²f/∂y² = 2x²

∂²f/∂x∂y = 4xy
∂²f/∂y∂x = 4xy

∆¹ = 2y² = 2
∆² = 4xy(2y² - 2x²) = 0

∆¹ > 0, ∆² = 0: (-1,1) é ponto de sela.

Estudei só o básico disso, acertei?

por **Iago6** Sex 19 Out 2012, 02:11

aprentice

Não enendi muito bem a sua conclusão, mas para saber se é ponto de sela tem que usar o ponto que você encontrou e testar na matriz Hessiana.

Ness caso ficaria assim.

$\\ \mathrm{H(x_o,y_o) }= \begin{vmatrix} \mathrm{2y^2} & \mathrm{4xy}\\ \mathrm{4xy }& \mathrm{2x^2} \end{vmatrix} = \mathrm{4x^4 - 16x^2y^2 } \\\\\\\ \mathrm{H(x_o,y_o)=4x^4 - 16x^2y^2} \\\ \mathrm{H(-1,1) = 4(-1)^4 -16(-1)^2(1)} \\\ \mathrm{H(-1,1) =4 -16 = - 12} \\\\\ \mathbf{Assim \; como\; o\; ponto \; H(-1,1)<0 , temos \; que\;(-1,1)\; um \; ponto\; de \;sela.}$

por aprentice Sex 19 Out 2012, 10:59

Poisé, e eu achei que tinha feito isso... : |
2y² 2x²
4xy 4xy
Misturei a Hessiana com a Wonsbrianka...
Iago, todos os determinantes das hessianas tem que ter o mesmo sinal pra que seja um ponto de máximo ou minimo, certo?

por **Iago6** Sex 19 Out 2012, 12:42

Isso mesmo, a condição para que seja máximo ou mínimo o determinante da Hessiana no ponto encontrado tem que ser maior que zero (positivo). E para verificar se esse ponto é maximo ou mínmo você tem que substituir esses valores encontrado, e fazer o teste apenas na derivada de segunda ordem em relação a x. Assim:

Se:

● ∂²f/∂x² (x_o,y_o) > Mínimo local.

● ∂²f/∂x² (x_o,y_o) < Máximo local.