reta tangente à circunferência

por rodrigomr Qui 18 Out 2012, 09:31

Considere a circunferência (λ) x²+y²-4x=0 e o ponto P(1,√3). Se a reta t é tangente a λ no ponto P, então a abscissa do ponto de intersecção de t com o eixo horizontal do sistema de coor-denadas cartesianas é:

gabarito: -2

por **hygorvv** Qui 18 Out 2012, 09:54

Pode usar derivadas, colega?
Vou supor que sim.

derivando implicitamente a equação da circunferência (em relação a x);
2x+2ydy/dx-4=0
x+ydy/dx=2
dy/dx=(2-x)/y

Substituindo o ponto P
dy/dx=1/sqrt(3)=sqrt(3)/3 (esse é o coeficiente angular)

Assim
y-sqrt(3)=sqrt(3)/3(x-1)
y-sqrt(3)=sqrt(3)x/3-sqrt(3)/3
y=sqrt(3)x/3+2sqrt(3)/3 (equação da reta tangente)

Para y=0, temos:
0=sqrt(3)x/3+2sqrt(3)/3
x=-2

Espero que ajude.

por rodrigomr Qui 18 Out 2012, 09:59

Sou cego em derivadas, hygorvv =(

por **hygorvv** Qui 18 Out 2012, 10:02

Então é na raça.

Sendo r a reta tangente.
r: y-sqrt(3)=a(x-1)
y=a(x-1)+sqrt(3)

Substitui na equação da circunferência
x²+(a(x-1)+sqrt(3))²-4x=0 - expanda essa equação e verá que ela tem grau 2.
Para ser tangente, devemos ter apenas um ponto em comum, logo, Δ=0

Assim, você encontra o coeficiente angular e prossegue da mesma forma.

Agora é raça e braço para resolver. Qualquer dificuldade, avise-nos.

Espero que ajude.

por rodrigomr Qui 18 Out 2012, 10:25

Obrigado, amigo. Estava com dúvidas quanto a achar o coef. angular. Valeu pela dica!

por **Jose Carlos** Qui 18 Out 2012, 10:50

Outra forma na raça..

x² - 4x + y² = 0

( x² - 4x + 4 ) + y² = 4

( x - 2 )² + ( y - 0 )² = 4

circunferência com centro no ponto C(2, 0) e raio = 2

- reta (t) que passa pelos pontos P e C:

(y-0)/(\/3 - 0 ) = (x-2)/(1-2)

y = - \/3*x - 2*\/3

- reta perpendicular a t por P:

m = 1/\/3

y - \/3 = (1/\/3)*(x-1)

y = (\/3 /3)*x + ( 2*\/3/3)

para y = 0 temos:

(\/3 /3)*x = - (2*\/3 /3)

x = - 2