CN 2013 - geometria

Dois triângulos , T1 e T2 , cada base é o dobro da respectiva altura. As alturas desses triângulos, h1 e h2, são números ímpares positivos. Qual é o conjuntos dos valores possíveis de h1 e h2, de modo que a área T1+T2 seja equivalente a área de uma quadrado de lado inteiro.?
a) conjunto vazio
b)unitário
c)finito
D) (3,5,7,9,11 .....)
e)(11,17,23,29.....)

Gab A

Consideremos L como sendo o lado do quadrado em questão. De acordo com o enunciado escrevemos:

T1 + T2 = L² => 2h1.h1/2 + 2h2.h2/2 = L² => h1² + h2² = L² (1)

Sendo h1 e h2 inteiros ímpares, teremos h1² e h2² ímpares e, portanto, a soma h1² + h2² = L² será par. Sejam os inteiros positivos k, p, r. Façamos h1 = (2k - 1), h2 = (2p - 1) e L = 2r. Substituindo em (1):

(2k - 1)² + (2p - 1)² = (2r)² => 4(k² + p² - r²) = 4(k + p) - 2 =>
=> k² + p² - r² = k + p - 1/2

Mas sendo k, p e r inteiros é fácil ver que a equação acima nunca é satisfeita (por causa da presença do número racional 1/2). Portanto não existem triângulos T1 e T2 que satisfazem as condições do enunciado.

Alternativa A

Vlw Obrigado

Att

Boa tarde.
Alguém poderia me explicar a passagem
Sendo h1 e h2 inteiros ímpares, teremos h1² e h2² ímpares e, portanto, a soma h1² + h2² = L² será par.

por favor

Propriedades dos números:

1) Todo número ímpar ao quadrado é ímpar e todo número par ao quadrado é par.

2) Número par = 2.n ---> Número ímpar = 2.n + 1 ---> n é inteiro

h1 é ímpar ---> h1² é impar ---> Seja h1² = 2.k + 1

h2 é ímpar ---> h2² é impar ---> Seja h2² = 2.p + 1

h1² + h2² = L² ---> (2.k + 1) + (2.p + 1) = L² ---> L² = 2.(k + p + 1) ---> L² é par ---> L é par

Muito obrigado, mestre Elcioschin.
Entendi perfeitamente