Questão - Estudo das Funções

(ITA-1989) Sejam f,g: ℝ → ℝ duas funções reais tais que:

a) gof: ℝ → ℝ é injetora. Verifique se f é injetora e justifique a resposta.

b) gof: ℝ → ℝ é sobrejetora. Verifique se g é sobrejetora e justifique a resposta.


Alguém se habilita a me instruir? Como posso fazer tais verificações? E de que maneira dissertar sobre essas conclusões? Aguardo ansiosamente retorno.

f(x) e g(x) são funções indo do real para o real.

No item A, ele afirma que g(f(x)) é injetora. Isso significa que, para todo x existe apenas um único y. Você pode pensar em uma forma de representar g(f(x)) como um três conjuntos assim:

Fonte: Mundo Educação

Nesse caso, teríamos que o primeiro conjunto é x, o segundo é f(x) e o terceiro é g(f(x)). Como g(f(x)) é injetora, então quer dizer que para cada x há um g(f(x)) diferente. Já que isso acontece, então para cada x também teríamos que ter um f(x) diferente, pois, caso contrário, teríamos g(f(x)) iguais para x diferentes. Ou seja, f(x) é injetora.

Agora, no item B, temos que g(f(x)) é sobrejetora. Ele então pergunta se g(x) também é. Vamos usar o mesmo raciocínio acima, só que, dessa vez, vamos ter que g(f(x)) é sobrejetora, ou seja, todos os elementos de g(f(x)) terão um x correspondente. Ou seja, para todos os valores de x, vamos achar o conjunto dos números reais como imagem (já que esse também é seu contradomínio). Então, de acordo com o esquema acima, teríamos que para cada valor de f(x), g(f(x)) deve ser sobrejetora. Então se o domínio de f(x) são os números reais e a imagem de g(f(x)) é o conjunto dos números reais, então podemos representar qualquer número em f(x) e dessa forma obtemos valores diferentes de g(f(x)) dentro do conjunto real. Então a partir daí fica fácil entender que g(x) também é sobrejetora porque podemos tratar f(x) como uma incógnita em g(f(x)) e não como uma função.

Espero ter ajudado. ^_^

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