OBM - Equação Diofantina

2(x + y) + xy = x² + y²
xy=x(x-2)+y(y-2)
x(x-2)+y(y-x-2)=0
[x(x-2)] / [y(x+2-y)]=1
Então como x e y são inteiros, temos com isso, uma divisibilidade e, para tanto, os seguintes casos a considerar:
1ºcaso: x=y(x+2-y) e x-2=1 -> x=3, mas com isso y não seria inteiro
2ºcaso: x-2=y(x+2-y) e x=1, mas com isso y não seria inteiro
3ºcaso: x(x-2)=1 e y(x+2-y)=1, mas com isso x e y não seriam inteiros
4ºcaso: x=y (x-2)=(x+2-y) -> x-2=x+2-x -> x=y=4
5ºcaso: Como colocamos a equação na forma de uma fração, podemos ter desconsiderado quando os dois lados forem 0, poi não édeterminado 0/0. Fazendo essa mudança:
x(x-2)=0(I) e y(x+2-y)=0(II)
se x=0 em II: y=0 ou y=2
se x=2 em II: y=0 ou y=4
Portanto, temos as seguintes soluções: (4,4);(0,0);(0,2);(2,0);(2,4), poém como a mudança das varíaveis x e y não altera o resultado, (4,2) também é solução.