Trapézio qualquer
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Trapézio qualquer
por Nat' Sex 21 Set 2012, 21:42
Considere um trapézio qualquer ABCD. FE // AB // CD. Demonstrar que med(FE) = 2ab/ ( a + b).
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Re: Trapézio qualquer
por DeadLine_Master Dom 23 Set 2012, 21:54
Denotemos S(X1,X2...Xn) a área do polígono X1X2...Xn. Seja h1 a altura do trapézio ABEF, h2 a altura do trapézio FECD e P o ponto de encontro das retas AC e DB. Temos:
S(ABCD) = S(FECD) + S(ABFE) =>
=> (a+b).(h1+h2)/2 = (FE+b).h2/2 + (FE+a).h1/2 =>
=> (a+b).(h1+h2) = (FE+b).h2 + (FE+a).h1 =>
=> FE(h2 + h1) = a.h2 + b.h1(1)
Os triângulos DCP e BAP são semelhantes. Pela semelhança:
h1/h2 = a/b => h1 = a.h2/b (2)
Substituindo (2) em (1):
FE(h2 + a.h2/b) = a.h2 + b.a.h2/b =>
=> FE(a + b)/b = a + a => FE = 2ab/(a+b)
S(ABCD) = S(FECD) + S(ABFE) =>
=> (a+b).(h1+h2)/2 = (FE+b).h2/2 + (FE+a).h1/2 =>
=> (a+b).(h1+h2) = (FE+b).h2 + (FE+a).h1 =>
=> FE(h2 + h1) = a.h2 + b.h1(1)
Os triângulos DCP e BAP são semelhantes. Pela semelhança:
h1/h2 = a/b => h1 = a.h2/b (2)
Substituindo (2) em (1):
FE(h2 + a.h2/b) = a.h2 + b.a.h2/b =>
=> FE(a + b)/b = a + a => FE = 2ab/(a+b)
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