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Teorema de Cauchy (Matrizes)

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Mensagem por Robson Jr. Dom 16 Set 2012, 19:00

Neste tópico provarei um resultado auxiliar a ser usado na demonstração do "Método da Adjunta para Cálculo de Inversas".

Haverá duas seções:

● Demonstração para matrizes de ordem 3, para que o raciocínio desenvolvido fique claro;
● Demonstração para matrizes de ordem qualquer.

Adiante:

Teorema de Cauchy
É nula a soma dos produtos dos elementos de uma fila pelos cofatores dos elementos correspondentes noutra fila paralela.

Demonstração para matrizes 3x3:

Considere uma matriz de elementos genéricos:



Partindo, sem perda de generalidade, da Linha 1 e usando como fila paralela a Linha 2, nossa conjetura torna-se:



Mas o membro esquerdo pode ser visto como a aplicação da Regra de Laplace na linha 2 do seguinte determinante:



Como um determinante com duas filas paralelas iguais é nulo, o teorema se confirma para ordem 3. CqD

Demonstração para matrizes nxn:

Seja uma matriz qualquer:



Partindo, sem perda de generalidade, da Linha 1 e usando como fila paralela a Linha 2, a conjetura pode ser escrita como:



Mas o membro esquerdo pode ser visto como a aplicação da Regra de Laplace na linha 2 do seguinte determinante:



Como um determinante com duas filas paralelas iguais é nulo, o teorema se confirma para qualquer ordem. CqD

O tópico abordando o método citado será criado em breve.
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Mensagem por Iago6 Dom 16 Set 2012, 19:59

Tópico mto bom, valeu pela disposição em demonstrar.
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Teorema de Cauchy (Matrizes) Empty Re: Teorema de Cauchy (Matrizes)

Mensagem por Livia002 Dom 16 Set 2012, 21:11

Ótima demonstração!! É muito bom saber o porquê das coisas ^^
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