Teorema matrizes

por jarry15 Dom 17 Ago 2014, 15:51

Alguem pode demonstrar essa propriedade -- (A.B)^t= B^t.A^t ou (A.B)^-1=B^-1.A^-1 -- de matrizes algebricamente ?

por PedroCunha Dom 17 Ago 2014, 19:43

Para a primeira, fazendo as matrizes 2x2 para facilitar:

\\ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \,\, B = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}

Então:

\\ A \cdot B = \begin{pmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{pmatrix}

e com isso:

\\ (A \cdot B)^t = \begin{pmatrix} ae + bg & ce + dg \\ af+bh & cf+dh \end{pmatrix}

Continuando a prova:

\\ B^t = \begin{pmatrix} e & g \\ f & h \end{pmatrix}, \,\, A^t = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}

logo:

\\ B^t \cdot A^t = \begin{pmatrix} ae + bg & ce + dg \\ af + bh & cf + dh \end{pmatrix}

Logo, (A \cdot B)^t = B^t \cdot A^t , C.Q.D. .

Note no entanto que (A \cdot B)^t \neq A^t \cdot B^t .

Para a outra demonstração o caminho é o mesmo.

Naturalmente, a demonstração 2x2 é apenas para facilitar; uma demonstração deve ser genérica. Utilize a ideia de multiplicação de matrizes para tentar provar para matrizes n \times n .

Abraços,
Pedro

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