Divisão de polinômios
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Divisão de polinômios
por AnelehM Ter 04 Set 2012, 00:38
- Se (x-1)² é divisor do polinômio 2x^4 + x³ + ax² + bx + 2, então a soma de a+b é igual a:
a) -7
b) -8
c) -4
d) -5
e) -6
Por favor, se alguém puder ajudar fico grata desde já... Tenho a maior dificuldade com polinômios...
- Spoiler:
- Pensei em fazer pelo algoritmo de Briot-Ruffini, dividindo duas vezes o polinômio por x-1 e igualando o resto da segunda divisão a zero uma vez que ele diz que (x-1)² é divisor do polinômio, não havendo resto, assim:
p(x) : d(x)² = p(x) : [d(x) . d(x)] :suspect:
Mas infelizmente não deu muito certo... acho que fiz algo errado...
Última edição por AnelehM em Ter 04 Set 2012, 00:55, editado 1 vez(es)
AnelehM- Iniciante
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Re: Divisão de polinômios
por AnelehM Ter 04 Set 2012, 00:54
Esqueci de colocar o que desenvolvi do algoritimo
- Spoiler:
1|| 2 | 1 | a | b | 2
|| 2 | 3 | 3+a | 3+a+ b| 5+a+b
x³ x² x¹ 1 Resto
1|| 2 | 3 | 3+a | 3+a+b
|| 2 | 5 | 8+a | 11+2a+b
x² x¹ 1 Resto'
Resto' = 11+2a+b = 0 .:. 2a+b = -11 .:. a+b = -11-a
AnelehM- Iniciante
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Nat'- Mestre Jedi
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Re: Divisão de polinômios
por Robson Jr. Ter 04 Set 2012, 01:30
Nat' escreveu:AnelehM,
A resposta é -5?
É.
Robson Jr.- Fera
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Re: Divisão de polinômios
por Nat' Ter 04 Set 2012, 01:38
Que bom 
Então, AnelehM, eu abri (x-1)² em x-2x+1, e fiz a divisão pelo método das chaves, o que deixou "(b+2a +11)x -6-a" de resto.
Igualando "(b+2a +11)x -6-a" a zero, já que o resto é zero, pois o polinômio é divisível por (x-1)² , temos:
b+ 2a + 11 = 0
a= -6
b+ a + a = -11 .:. b+a -6 = -11 .:. b + a = -5
Então, AnelehM, eu abri (x-1)² em x-2x+1, e fiz a divisão pelo método das chaves, o que deixou "(b+2a +11)x -6-a" de resto.
Igualando "(b+2a +11)x -6-a" a zero, já que o resto é zero, pois o polinômio é divisível por (x-1)² , temos:
b+ 2a + 11 = 0
a= -6
b+ a + a = -11 .:. b+a -6 = -11 .:. b + a = -5
Nat'- Mestre Jedi
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Re: Divisão de polinômios
por Euclides Ter 04 Set 2012, 01:42
Fazendo de outro modo
(x-1)^2\\2x^4+x^3+ax^2+bx+2=(mx^2+nx+p)(x^2-2x+1)\\2x^4+x^3+ax^2+bx+2=mx^4+(n-2m)x^3+(m+p-2n)x^2+(n-2p)x+p\\\\\text{comparando termos correspondentes:}\\\\m=2\;\;\;\;\;n-2m=1\to n=5\;\;\;\;\;\;\;\;p=2\\m+p-2n=a\;\;\to\;\;a=-6\\n-2p=b\;\;\;\to\;\;b=1\\\\\\P(x)=2x^4+x^3-6x^2+x+2 "\\2x^4+x^3+ax^2+bx+2=(mx^2+nx+p)(x-1)^2\\2x^4+x^3+ax^2+bx+2=(mx^2+nx+p)(x^2-2x+1)\\2x^4+x^3+ax^2+bx+2=mx^4+(n-2m)x^3+(m+p-2n)x^2+(n-2p)x+p\\\\\text{comparando termos correspondentes:}\\\\m=2\;\;\;\;\;n-2m=1\to n=5\;\;\;\;\;\;\;\;p=2\\m+p-2n=a\;\;\to\;\;a=-6\\n-2p=b\;\;\;\to\;\;b=1\\\\\\P(x)=2x^4+x^3-6x^2+x+2")
=(2x^2+5x+2)(x-1)^2 "\\P(x)=(2x^2+5x+2)(x-1)^2")
____________________________________________
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Re: Divisão de polinômios
por Robson Jr. Ter 04 Set 2012, 02:05
Mais uma solução:
Se o polinômio é divisível por (x-1)², então x = 1 é raíz.
p(1) = 0
2 + 1 + a + b + 2 = 0
5 + a + b = 0
a + b = -5
Se o polinômio é divisível por (x-1)², então x = 1 é raíz.
p(1) = 0
2 + 1 + a + b + 2 = 0
5 + a + b = 0
a + b = -5
Robson Jr.- Fera
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Re: Divisão de polinômios
por Nat' Ter 04 Set 2012, 06:34
Gostei da sua solução Robson! Muito mais simples! 
Nat'- Mestre Jedi
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Re: Divisão de polinômios
por AnelehM Ter 04 Set 2012, 10:55
Obrigada a todos! ^^
Desculpe não ter respondido sua pergunta Nat' mas de qualquer forma não sabia o gabarito. Gostei muito da sua resolução! Ajudou a achar onde estava errando... e também gostei muito da sua Robson, bem simples mas muito eficiente! (não teria pensado nisso.. ^^)
Bom, muito obrigada! =D
Desculpe não ter respondido sua pergunta Nat' mas de qualquer forma não sabia o gabarito. Gostei muito da sua resolução! Ajudou a achar onde estava errando... e também gostei muito da sua Robson, bem simples mas muito eficiente! (não teria pensado nisso.. ^^)
Bom, muito obrigada! =D
AnelehM- Iniciante
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Nat'- Mestre Jedi
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