Raízes existentes

Pede-se para achar o número de raízes existentes no intervalo 0<= x <= 2π
1) Sen2x = √3/2
2) Cos²x-Sen²x=0
Na primeira serão apenas 2 raízes.
√3/2 -> corresponde aos angulos π/3 e 2π3.
Sen2x = π/3
x = π/6

Sen2x = 2π/3
x = π/3

Beleza, até ai tudo bem. Tá ai as duas raízes
π/3 e
π/6
(corrija, se tiver errado)


Na segunda que eu to me enrolando. Possuí 4 raízes mas, por quê?
Cos²x-Sen²x=0
Cos²x - ( 1 - Cos²x) = 0
2Cos²x -1 = 0
Cosx = √2/2, certo?
Os angulos correspondentes a esse valor é o: π
/4 e o 7π/4, certo?

mas, não poderia ser assim também?
Cos²x - Sen²x = 0
Cos2x = 0

Aí os angulos que correspondem a cosseno igual a 0 são: π/2 e 3π/2, certo?
e a resposta seria π/4 e 3π/4? ( não quis colocar a continuacao da resposta, aquele negocio de kπ de preguiça)
Desculpe a enrolação pra perguntar.
Mas a 2 questão não seria mais ou menos igual a primeira questão?
e por que a primeira tem 2 raízes e a segunda tem 4 raízes?
Obrigado.

Cosx = +- (raiz de 2)/2

cos 2x = 0 -> 2x = pi/2 ou 2x = 3*pi/2

x = pi/4 -> 2x = pi/2

x = 3*pi/4 -> 2x = 3*pi/2

x = 5*pi/4 -> 2x = 2*pi + (pi/2)

=x = 7*pi/4 -> 2x = 7*pi/2 = 2*pi + ( 3*pi/2)

Observe que o enunciado diz que "x" pertence ao intervalo [0, 2*pi] e não "2x"

José Carlos

você somou 2pi com pi/2 e 3pi/2 porque o enunciado diz x

mas no problema encontramos 2x?
toda a vez que tiver um caso semelhante a esse em que pode-se x

mas temos 2x deveremos somar 2pi?
e por que 2pi e não qualquer outro radiano?

Olá hector,

Vamos ver se eu percebi a sua dúvida:

Concluímos que 2x = pi/2 e 2x = 3*pi/2 , isto é, os arcos que satisfazem a equação cos 2x = 0 devem ter suas extremidades em
pi/2 ou 3*pi/2.

Buscando esses arcos temos ( lembrando que x está no intervalo [ 0, 2*pi ]:

2x = pi/2 -> x = pi/4

2x = 3*pi/2 -> x = 3*pi/4

2x = 5*pi/2 -> x = 5*pi/4 ( 5*pi/4 = 2*pi + (pi/2) -> uma volta inteira mais um arco de pi/2 )

2x = 7*pi/2 -> x = 7*pi/4 ( 7*pi/4 = 2*pi + (3*pi/2) -> uma volta inteira mais um arco de 3*pi/2 )


Qualquer coisa escreva.