EFOMM 2009 - Geometria

Tem-se um contêiner no formato cúbico, onde o ponto P descreve o centro desse contêiner e o quadrado ABCD a parte superior dele. Considerando-se o ΔAPC, o seno do ângulo CPA vale:

(A) 2√2/3
(B) 2√2/2
(C) 2√2
(D) 3√2
(E) 3√2

Alguem poderia me explicar como se resolve?

Faça um bom deseno para acompanar

Sejam a, d, D o lado, a diagonal da face e a diagonal do cubo

d²= a² + a² ----> d² = 2a²

D² = d² + a² ----> D² = 2a² + a² ---->D² = 3a² -----> D = \/3*a

AC = d
AP = CP = D/2

Lei dos cossenos no triângulo CPA onde C^PA = θ

AC² = AP² + CP² - 2*AP*CP*cos θ

d² = (D/2)² + (D/2)² - 2*(D/2)*D/2)*cosθ

d² = D²/4 + D²/4 - 2*(D²/4)*cosθ ----> d² = D²/2 - (D²/2)*cosθ

2a² = 3a²/2 - (3a²/2)*cosθ ----> : a² ----> 2 = 3/ 2- (3/2)*cosθ ----> 2 - 3/2 = - 3/2*cosθ ----> 1/2 = -(3/2)*cosθ ----> cosθ = -1/3

cos²θ =(-1/3)² ----> cos²θ =1/9 ----> sen²θ = 8/9 ----> senθ = 2\/2/3 ---->Alternativa A

Vi outra forma de fazer aqui. Expandindo a foto melhora a visualização.


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