EFOMM 2008

por May007 Sex Ago 24 2012, 19:50

É bem conhecida a relação

onde θ é um ângulo em radiano e i = raiz de −1 . Dada a relação podemos concluir que se θ é um imaginário puro da forma bi, onde b ∈ ¥ , cos θ é um número

(A) entre –1 e 1
(B) maior que –1 e menor que 0
(C) maior que 1
(D) igual a 1
(E) imaginário puro.

por **Robson Jr.** Sex Ago 24 2012, 22:58

$\small cos(bi)=\frac{e^{i.bi}+e^{-i.bi}}{2}=\frac{e^{-b}+e^{b}}{2}=\frac{1}{2}\left ( e^b+\frac{1}{e^b} \right )$

É resultado conhecido que um número positivo somado ao seu inverso é maior ou igual a 2, com igualdade se esse número for unitário. Como bi é imaginário puro, b ≠ 0 e podemos escrever:

$\small \\ e^b+\frac{1}{e^b} > 2 \Rightarrow \frac{1}{2}\left ( e^b+\frac{1}{e^b} \right ) > 1$

(Letra C)

por Beatriz Gomes Qua Jul 23 2014, 21:09

Não entendi

por Lucas_DN684 Seg Jul 31 2023, 21:13

Beatriz Gomes escreveu:Não entendi

O ponto chave da questão é manipular algebricamente a expressão, como o @Robson Jr. bem fez, e utilizar o fato de que a soma de um número positivo com seu inverso é sempre maior que 2. Como cai cálculo na EFOMM, acho que o método mais imediato é usá-lo. Vamos plotar todos os resultados possíveis para essa soma utilizando a seguinte função:

[latex]f=\left \{ \left ( x,y \right )\in \mathbb{R}_{+}^{*} \times A \mid y=x+\frac{1}{x} \right \}\, \, \, \wedge \, \, \, P=\left \{ p \in f \mid p\, \, \acute{e} \, \, ponto\, \, cr\acute{i}tico\right \}\\\\\\f(x)=x+\frac{1}{x}\Leftrightarrow f'(x)=1-\frac{1}{x^{2}}\, \, \, \wedge \, \, \, f''(x)=\frac{2}{x^{3}}\, \, \, \wedge \, \, \, f\, \, \acute{e}\, \, cont\acute{i}nua\\\\\\\\\ P=\left \{ (1,f(1)) \right \}\, \, \, \wedge \, \, \, f'(1)=0\, \, \, \wedge \, \, \, f''(1)=2>0\Leftrightarrow (1,2)\, \, \acute{e}\, \, ponto\, \, de\, \, m\acute{i}nimo\, \, absoluto\\\\\\\therefore A=[2,+\infty )[/latex]

Então de todos os valores possíveis da função o menor é (1,2). Então está provado que a nossa hipótese procede.

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