ITA95- Matrizes

por Hillyno_o Qua 22 Ago 2012, 08:50

Olá pessoal,

gostaria que alguém me ajudasse nessa questão:

:arrow: Dizemos que duas matrizes nxn A e B são semelhantes se existe uma matriz nxn inversível P tal que B = P^-1AP. Se A e B são matrizes semelhantes quaisquer, então:

a) B é sempre inversível.
b) Se A é simétrica, então B também é simétrica.
c) B² é semelhante a A.
d) Se C é semelhante a A, então BC é semelhante a A².
e) det(cI - A) = det(cI - B).

Obrigada desde já Very Happy

por **Robson Jr.** Sex 21 Set 2012, 11:53

Multiplicando por P à esquerda, em ambos os membros da definição:

$\small PB=PP^{-1}AP \ \therefore \ PB=AP \ \therefore \ -PB=-AP$

Somando λP de ambos os membros:

$\small \lambda P-PB=\lambda P-AP \ \therefore \ P(\lambda I-B)=(\lambda I-A)P$

Extraindo o determinante e aplicando o teorema de Binet:

$\small det(P).det(\lambda I-B)=det(\lambda I-A).det(P) \ \therefore \ {\color{Red} det(\lambda I -B)=det(\lambda I -A)}$

por Hillyno_o Sex 21 Set 2012, 12:08

hummmm entendii =))

Obrigada

por Mefistófeles Qua 28 Jan 2015, 11:35

Pessoal, estou no mesmo exercício, porém tanto a a D quanto a E parecem corretas.
d) Se C é semelhante a A, então BC é semelhante a A²
C=P^-1AP
B=P^-1AP

B.C=P^-1APP^-1AP
B.C=^P[sup]-1A.I.AP
B.C=P^-1A².P

Realmente não sei onde está o erro :s

Obrigado.

[/sup]

por jpspindola Qua 24 Jun 2015, 17:06

também encontrei isso, Mefistófeles.

por **Emanuel Dias** Dom 08 Mar 2020, 04:25

Alguém poderia mostrar o erro da letra D? Obrigado.

por **fantecele** Dom 08 Mar 2020, 07:30

Não necessariamente C = P^(-1)AP, pode ocorrer de C = T^(-1)AT com T diferente de P, daí BC = P^(-1)APT^(-1)AT e parar por aí, não dando A².

por **Emanuel Dias** Dom 08 Mar 2020, 07:32

fantecele escreveu:Não necessariamente C = P^(-1)AP, pode ocorrer de C = T^(-1)AT com T diferente de P, daí BC = P^(-1)APT^(-1)AT e parar por aí, não dando A².

Obrigado de novo fantecele, jaja começa as pesadas de olimpíadas, conto com você kkkkk.