Matriz trigonométrica '''

por Nat' Seg 20 Ago 2012, 10:36

Olá pessoal!

Alguém pode me ajudar com essa?

Com a,b,c ∈ R, mostrar que:

$Matriz trigonométrica ''' Gif$ é igual a $Matriz trigonométrica ''' Gif.latex?4sen\frac{b-c}{2}.sen\frac{a-c}{2}$

Obrigada! ^^

por **Robson Jr.** Seg 20 Ago 2012, 13:09

Aplicando Chió:

$\begin{vmatrix} 1 &sena &cosa \\ 1 & senb &cosb \\ 1 & senc & cosc \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} senb-sena & cosb-cosa \\ senc-sena& cosc-cosa \end{vmatrix}$

Agora vou aplicar duas transformações de soma em produto, quais sejam:

$\small \\ \cdot sen(x)-sen(y)=2.sen\left ( \frac{x-y}{2} \right )cos\left ( \frac{x+y}{2} \right ) \\\\ \cdot cos(x)-cos(y)=-2.sen\left ( \frac{x-y}{2} \right )sen\left ( \frac{x+y}{2} \right )$

Adiante:

$\begin{vmatrix} senb-sena & cosb-cosa \\ senc-sena& cosc-cosa \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 2.sen\left ( \frac{b-a}{2} \right )cos\left ( \frac{b+a}{2} \right ) & -2sen\left ( \frac{b-a}{2} \right )sen\left ( \frac{b+a}{2} \right ) \\ 2sen\left ( \frac{c-a}{2} \right )cos\left ( \frac{c+a}{2} \right )& -2sen\left ( \frac{c-a}{2} \right )sen\left ( \frac{c+a}{2} \right ) \end{vmatrix}$

Efetuando o determinante:

$\small \\ -4.sen\left ( \frac{b-a}{2} \right )cos\left ( \frac{b+a}{2} \right )sen\left ( \frac{c-a}{2} \right )sen\left ( \frac{c+a}{2} \right )+4sen\left ( \frac{b-a}{2} \right )sen\left ( \frac{b+a}{2} \right )sen\left ( \frac{c-a}{2} \right )cos\left ( \frac{c+a}{2} \right )= \\\\ 4sen\left ( \frac{b-a}{2} \right )sen\left ( \frac{c-a}{2} \right ) \left [-cos\left ( \frac{b+a}{2} \right )sen\left ( \frac{c+a}{2} \right )+ sen\left ( \frac{b+a}{2} \right )cos\left ( \frac{c+a}{2} \right ) \right ]= \\\\ 4sen\left ( \frac{b-a}{2} \right )sen\left ( \frac{c-a}{2} \right ).sen\left ( \frac{b-c}{2} \right )= {\color{Red} 4.sen\left ( \frac{b-c}{2} \right )sen\left ( \frac{a-c}{2} \right )sen\left ( \frac{a-b}{2} \right )}$

O único difícil aqui foi digitar essa coisa. Coloca a solução no papel que você vê que não é nada demais.