derivadas, pontos de máximo, mínimo

Analise as afirmações:
I) Se f é uma função real derivável num intervalo aberto I contido nos reais, d pertence a I e f ' (d) = 0 então d é abscissa de um ponto de mínimo local ou máximo local de f.

II) se f é derivável em um intervalo aberto contendo x = b e tem um máximo local em x = b então f ' (b) = 0 e f '' (b) < 0

III) se f é derivável em um intervalo aberto contendo x = c e f ' (c) = 0 então f tem um máximo ou mínimo local em x = c

IV) se f tem derivada estritamente positiva em todo o seu domínio então f é crescente em todo seu domínio

V) Se limite de f(x) com x tendendo a b é igual a 1, e limite de g(x) com x tendendo a b é infinito então limite de [f(x)]^[g(x)] com x tendendo a b é igual a 1

VI) se f é derivável para todo x pertencentes aos reais então limite de {[f (x) - f(x - 2s)]/2s} com s tendendo a 0 é igual a 2f ' (x)

Podemos afirmar:
a) todas são falsas
b) todas são verdadeiras
c) apenas uma delas é verdadeira
d) apenas duas delas são verdadeiras
e) apenas uma delas é falsa

Spoiler:

UP

Está com dúvida em todas, colega?

Sim...

Há alternativas que não entendo o porquê de serem falsas, algumas me parecem verdadeiras...

I) Se f é uma função real derivável num intervalo aberto I contido nos reais, d pertence a I e f ' (d) = 0 então d é abscissa de um ponto de mínimo local ou máximo local de f.
NEM SEMPRE - Exemplo: f(x)=x³

II) se f é derivável em um intervalo aberto contendo x = b e tem um máximo local em x = b então f ' (b) = 0 e f '' (b) < 0
NEM SEMPRE - f(x)=k, por exemplo.

III) se f é derivável em um intervalo aberto contendo x = c e f ' (c) = 0 então f tem um máximo ou mínimo local em x = c

Mesmo esquema da primeira.

IV) se f tem derivada estritamente positiva em todo o seu domínio então f é crescente em todo seu domínio
Verdadeiro

V) Se limite de f(x) com x tendendo a b é igual a 1, e limite de g(x) com x tendendo a b é infinito então limite de [f(x)]^[g(x)] com x tendendo a b é igual a 1
é uma indeterminação, pode valer 1 ou não.
Para saber mesmo, só conhecendo as funções ou sua(s) derivada(s).

VI) se f é derivável para todo x pertencentes aos reais então limite de {[f (x) - f(x - 2s)]/2s} com s tendendo a 0 é igual a 2f ' (x)

lim[s->0][f(x)-f(x-2s)]/2s
fazendo 2s=h
lim[h->0][f(x)-f(x-h)]/h=f'(x)

Espero que ajude e seja isso.

Hygorvv, obrigado pela resolução, mas tenho algumas dúvidas

1) Se f'(d)=0, a única coisa que podemos afirmar é que d é ponto crítico, certo?

2) Para determinar os pontos de máximos e mínimos locais, teríamos que comparar os valores de f(d) (onde d são os pontos críticos) e verificar para qual valor de d f(d) é maior e qual o menor, então se f(d) é o maior valor---> d é ponto de máximo local, e se f(d) é o menor valor->d é ponto de mínimo local, é isto?

o gabarito diz que todas estão erradas, e você afirmou que a afirmação IV é verdadeira, o gabarito estaria errado ou algo está sendo esquecido?Se lembrar de algo que prova que a IV também é errada, por favor, informar.

Muito grato

1) Exatamente.
2) Não entendi muito bem o que você quis dizer. Para saber se f(d) é um ponto de máximo ou mínimo local você pode analisar o sinal das derivadas nas imediações do ponto d (xd).

A 4 para mim é verdadeira. Mas, vamos aguardar mais opiniões.

Até breve.