Mostre que para todo n ...

por Nat' Qui 09 Ago 2012, 17:37

Olá pessoal!

Alguém me ajuda com essa?

A sequência (an), n≥ 1 é definida por a1 =1, a2 =2, a3 = 24, e , para n ≥4, an= 6a²(n-1).a(n-3) - 8a(n-1).a²(n-2)/(a(n-2).a(n-3). Mostre que para todo n, an é um inteiro múltiplo de n.

Resp: infelizmente não tem!

Obrigada! ^^

por **fantecele** Qui 01 Jun 2017, 19:07

$\\a_{n}=\frac{6.(a_{n-1})^2.a_{n-3}-8.a_{n-1}(a_{n-2})^2}{a_{n-2}.a_{n-3}}\\\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=6.\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}-8\frac{a_{n-2}}{a_{n-3}}\\\\b_{n}=\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\\\\b_{n}=6.b_{n-1}-8b_{n-2}\\x^2=6x-8\\x=4;x=2\\b_{n}=\alpha.(4)^n+\beta.(2)^n$

$\\\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=\alpha.(4)^n+\beta.(2)^n\\\frac{a_{2}}{a_{1}}=2;\frac{a_{3}}{a_{2}}=12\\\\\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=\frac{1}{4}.(4)^n-\frac{1}{2}.(2)^n\\\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=(4)^{n-1}-2^{n-1}$

$\\\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=4^{n-1}-2^{n-1}\\\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}=4^{n-2}-2^{n-2}\\\frac{a_{n-2}}{a_{n-3}}=4^{n-3}-2^{n-3}\\...\\\\\frac{a_{3}}{a_{2}}=4^{2}-2^{2}\\\frac{a_{2}}{a_{1}}=4^{1}-2^{1}$

Multiplicando tudo:

$\\\frac{a_{n}}{a_{1}}=(4^{n-1}-2^{n-1})(4^{n-2}-2^{n-2})(4^{n-3}-2^{n-3})...(4^{3}-4^{3})(4^{2}-2^{2})(4^1-2^1)\\a_{n}=2^{n-1}.2^{n-2}....2^2.2^1.(2^{n-1}-1)(2^{n-2}-1)...(2^{2}-1)(2^1-1)\\a_{n}=2^{\frac{n(n-1)}{2}}.(2^{n-1}-1)(2^{n-2}-1)...(2^{2}-1)(2^1-1)\\a_{n}=2^{\frac{(n.(n-1))}{2}}.1.3.7.15.31.63.....(2^{n-2}-1).(2^{n-1}-1)$

Para n = 1 , n divide an.
Para um outro n qualquer, ele será escrito da forma $2^k.m$ , com m ímpar. Temos que k ≤ n-1 ≤ n.(n-1)/2, e existe um i ≤ n-1 tal que m divide $2^i - 1$ , i = $\phi(m)$ . Dessa forma temos que n divide $a_{n}$ para todo n ≥ 1.

Obs.: $\phi$ chama-se função $\phi$ de Euler.

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