Alguém pode me ajudar com essa soma?

Boa tarde pessoal!

Alguém pode me ajudar com essa soma?

Sejam ao=1, a1=1, e para cada natural n>1, an = an-1 + an-2. Calcule o valor da soma infinita:
x = ao + 1/2a1 + 1/4a2 + 1/8a3 + ... + 1/(2^n) .an + ...

Resp: 8

Obrigada!

Olha, eu achei esse seu problema no yahoo, mas a resposta deu 4.
Calculando o a2:

a2= a(2-1) + a(2-2) >> a2=a1 + a0 >> a2= 1 + 1 >> a2=2
Se você tentar achar o resto da sequência, vai perceber que a3= 3, a4=5 ...
Enfim, essa é a famosa sequência de fibonacci.

Segue a seqüência

1.1+ (1/2).1 + (1/4).2+ 3/8 +5/16 + 8/32 + 13/64 + 21/128 + 34/256 + 55/512+...

Pode-se observar que 1+ 1/2 + 2/4 = 2, então a sequência é

2 + 3/8 +5/16 + 8/32 + 13/64 + 21/128 + 34/256 + 55/512+...

Vamos desmembrar os termos fracionários de forma que eles possuam 3 no numerador, para depois colocarmos em evidência:

5/16 = 3/16 + 2/16
8/32 = 3/32 + 5/32
13/64 = 3/64 + 10/64
21/128 = 3/128 + 18/128
.......e assim vai.

Colocando 3 em evidência, ficaremos com:

2 + 3(1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + ...) + 2/16 + 5/32 + 13/64 + 18/128 + ...

A sequência (1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + ...) é a soma de uma PG infinita que pode ser calculada:
S = a1/(1- q) = (1 / 8 )/(1 - 1/2) = (1 / 8 )/(1/2) = 1/4.

Desmembrando a outra sequência (2/16 + 5/32 + 13/64 + 18/128 + ...) temos:
5/32 = 2/32 + 3/32
10/64 = 2/64 + 8/64
18/128 = 2/128 + 16/128
.... e assim vai. Colocando o 2 em evidência, teremos:

2 + 3(1/4) + 2(1/16 + 1/32 + 1/64 + ...) + 3/32 + 8/64 + 16/128 + ...

2 + 3/4 + 2/8 + 3(1/32 + 1/64 + 1/128) + 5(1/64 + 1/128+...) +...

2 + 3/4 + 1/4 + 3/16 + 5/32 + ...

Fazendo isso sucessivas vezes, você verá que o resultado tenderá a um número:

2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/16 + ...

A resposta é 4.

Infelizmente não consegui achar nada menos trabalhoso :/