Três números distintos...

por Nat' Qua 08 Ago 2012, 10:46

Bom dia!!! Alguém pode me ajudar com essa?

Três números distintos, colocados em certa ordem, estão em PA. Colocados em outra ordem estão em PG. Determine esses números, sabendo-se que seu produto é 216.

Resp: -12, 6 e -3

Obrigada! ^^

por **Robson Jr.** Qua 08 Ago 2012, 14:44

Se em alguma ordem eles formam uma PG, a seguinte representação é possível:

$\small \frac{x}{q}; \ x; \ xq$

Como o produto é 216:

$\small \frac{x}{q}.x.xq=216 \Rightarrow x=6$

Veja de quantas formas podemos enfileirar os três termos:

$\small \\ \left\{\begin{matrix} \frac{x}{q}; \ x; \ xq\\ xq; \ x; \ \frac{x}{q} \end{matrix}\right. \\\\ \left\{\begin{matrix} x; \ \frac{x}{q}; \ xq\\ xq; \ \frac{x}{q}; \ x \end{matrix}\right. \\\\ \left\{\begin{matrix} \frac{x}{q}; \ xq; \ x\\ x; \ xq; \ \frac{x}{q} \end{matrix}\right.$

Dividi em pares pelo seguinte: ao usar o fato de que, numa PA, a soma dos extremos é igual ao dobro do termo médio, não faz diferença se invertemos os extremos. Cada chave representa, portanto, um único caso.

Das três chaves, a primeira é aquela da PG. Só precisamos testar, então, uma relação de cada uma das restantes.

Teste 1:

$\small \text{PA: }x; \ \frac{x}{q}; \ xq \Rightarrow x+xq=2.\frac{x}{q} \Rightarrow q^2+q-2=0 \Rightarrow {\color{Red} q=1} \ ou \ {\color{Red} q=-2}$

Teste 2:

$\small \text{PA: }\frac{x}{q}; \ xq; \ x \Rightarrow \frac{x}{q}+x=2xq \Rightarrow 2q^2-q-1=0 \Rightarrow {\color{Red} q=1} \ ou \ {\color{Red} q=-\frac{1}{2}}$

Como os números são distintos, não podemos ter q = 1. Para q = -2 ou q = -1/2, você achará (-12, 6, -3).

por Nat' Qui 09 Ago 2012, 10:57

Valeu Robson! ^^

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