Triângulo ABC - Calcular IM

Os lados de um triângulo são: AB = 13 m, AC = 11 m e BC = 16 m. A mediana AM e a bissetriz interna BD cortam-se em I. Calcular IM.

Resposta: 24/7 m

Olá Thvilaça bom dia ,

Não sei se entendi bem , mas o fato é que a mediana de um triãngulo pode ser calculada pela fórmula>

Ma=1/2 . V2(b²+c²) - a² ( o radical vai até o a²) , usando essa fórmula você encontrá como resposta V324/2 = 9cm ,o que não bate com seu gabarito, nem precisamosa usar a bissetriz. Vamos aguardar os comentários. Um abraço

Raimundo

Olá Thvilaça, desculpe-me
Acordei . I problema pede IM e não a Mediana . Vou ter que sair agora , na volta pensarei mais um pouco.att Raimundo

Olá Thvilaça , vou postar o que eu consegui ver.
I - centro do círculo inscrito no triângulo ABC, então temos S=p.r (raio do círculo em função da área).
Aplicando Hierão >S=V20.9.4.7=V5040 >> 70,99=20r >>> r=3,549m

II - traçando os 3 raios do círculo e aplicando potencia de ponto temos: 13-x +11-x=16 >>x=4m
III -vejamos agora o triângulo formado pelos pontos I D e F
I> incentro
D> pé da mediana AD
F> pé da perpendicular baixada de I para o lado BC , nesse triângulo retângulo IM é a hipotenusa (isso pode ser visto desenhando o lado BC , marcando M o ponto médio de BC e marcando os dois segmentos que foram determinados em BC (11-x=7) e 13-x9).
Aplicando Pitagóras: IM² = 3,549² - 1² =3,405m >>seu gab 24/7= 3,428m

Vamos aguardar os comentários ou solução alternativa. Um abraço Raimundo

Olá:

Aproveitando o cálculo do comprimento da mediana AM, feito pelo raimundo, AM=9.

Pelo Teorema da bissetriz, aplicado ao triângulo [BAM], vem: 13/AI=8/IM, ou seja, AI=13IM/8.

Como AI+IM=AM, então 13IM/8+IM=9 ↔ 21IM=72↔IM=24/7.

Um abraço.

Olá Parofi. Perfeito. Bem mais simples e precisa.Um abraço Raimundo

Obrigado a todos!

Raimundo, só acabei ficando com algumas dúvidas com relação à sua solução:

I) Pela sua resposta final, considerando o triângulo ∆IMF, e considerando IM como a hipotenusa, conclui-se que o I seria o incentro (centro do círculo inscrito no triângulo). Mas o problema diz que I é o cruzamento da bissetriz BD e mediana AM, e não o cruzamento de duas bissetrizes. Como poderia ser I o centro do círculo?

II) No final, vc aplicou Pitágoras, considerando IM como hipotenusa, e acabou fazendo subtração... mas, td bem, o resultado somando com o
1² daria o mesmo, com pouquíssima diferença. Minha dúvida é: como vc sabe que FM no ∆IMF vale 1?

Olá Thvilaça ,
Realmente considerar I como incentro foi um erro.
Também tive dúvidas nas minha resolução(por não obter o resultado do gab), por isso, pedi para aguardarmos os comentários ( Bom, pois Parofi encontrou o caminho correto).
No triângulo IDF o que fiz foi o seguinte : Pela potencia de ponto , o ponto de tangencia no segmento BC ficou dividido em 11-x e 13-x(teoria errada). Fazendo BC= 11-x+13-x= 16 --> x=4 então o segmento IF= 11-4=7 , o ponto M(mediana ) 8 , >> 8-7=1
Um abraço Raimundo