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Análise Combinatória - Simulado ITA/IME

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Mensagem por Livia002 Dom 29 Jul 2012, 00:18

Olá, pessoal!
Alguém poderia ajudar na questão abaixo? Ela foi retirada de um simulado ITA/IME

-) Quinze questões, numeradas de 1 a 15 foram proposta em um teste. Se N estudantes participaram desse teste, determine o valor máximo
de N, sabendo que:
I. Nenhum estudante respondeu corretamente dois problemas consecutivos.
II. Não existe dois estudantes com a mesma seqüência de respostas corretas.
III. Cada estudante respondeu toda a prova, ou seja, não deixou questão sem responder.
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Mensagem por ramonss Dom 29 Jul 2012, 00:31

Você tem a resposta? Eu fiz aqui e encontrei 987, mas como não sei muito disso ainda..
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Mensagem por Livia002 Dom 29 Jul 2012, 10:30

A resposta é 1597...
Encontrei a solução da questão neste link do rumo ao ita:
http://www.rumoaoita.com/site/attachments/048_ITA%20III%20-%20SOL.pdf
(É a Questão 30)

Mas, ainda assim, não consigo entender a solução proposta...
Não compreendo o porquê da combinação (15 - k + 1) , k a k...e nem o motivo de C estar entre zero e oito. :/

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Mensagem por fabricio82 Ter 31 Jul 2012, 01:18

O máximo de questões corretas que um dado aluno pode ter é 8, justamente no caso em que ele acerta todas as ímpares. Do contrário, ele necessariamente deve acertar questões consecutivas, contrariando o enunciado.

Assim, você tem 9 tipos de resultado:

Aqueles onde os alunos erraram todas as questões;
Aqueles onde os alunos acertaram 01 questão;
Aqueles onde os alunos acertaram 02 questões;
Aqueles onde os alunos acertaram 03 questões;
Aqueles onde os alunos acertaram 04 questões;
Aqueles onde os alunos acertaram 05 questões;
Aqueles onde os alunos acertaram 06 questões;
Aqueles onde os alunos acertaram 07 questões;
Aqueles onde os alunos acertaram 08 questões.

O modo de selecionar 'k' valores de 1 a 15 de modo que não tenhamos valores seqüênciais escolhidos é dado por . (Caso não esteja familiarizado, procure por 'primeiro Lema de Kaplansky', é um dos tópicos avançados de combinatória presentes no livro do Morgado).

Portanto:


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