(ITA - 67) Funções Quadráticas

(ITA - 67) Seja y = [(ax^2 - 2bx - (a + 2b)]^1/2. Em qual dos casos abaixo y é real e diferente de zero?

a) a > 0, b > 0, -1 < x < (a + b)/a

b) a > 0, b < 0, x = (a + 2b)/a

c) a > 0, b = 0, -1 < x < 1

d) a < 0, b = 3a, x < -1

e) a < 0, b = 2a, -1 < x < (a + b)/a

Gabarito:

Spoiler:

Gostaria de uma resolução explicitando o teórico utilizado,
Agradecido.

√[(ax² - 2bx - (a + 2b)] > 0

ax² - 2bx - (a + 2b) > 0

Seja r e r' as raizes da equação acima.

Pelo teorema de Girard :

r + r' = 2b/a
r.r' = -1 - (2b/a)

.'. r'r = -1 - (r + r')
r'r + r' = -(1+r)
r'(1+r) = -(1+r)

.'.
r' = -1
r = 1 + (2b/a)

Então, se a < 0 , então só podemos ter -1 < x < (a+b)/a porque esses são os valores de x para que F(x) seja positiva, visto que é uma raiz quadrada.

Se a > 0 então o intervalo seria x < -1 ou x > (a+b)/a

O que não estou conseguindo achar é o b = 2a :/

Obrigado, Henrique. Foi de grande ajuda.

Mas vem cá, também podemos chamar (?):

r + r' = b
r . r' = c

é uma dúvida... se for possível, eu acho que é por aí que se encontra a igualdade b = 2a.

y = [(ax^2 - 2bx - (a + 2b)]^1/2
ax²-2bx-(a+2b)>0
Para y ser real e diferente de zero, basta que o Δ seja <0. Testando:
Δ=4b²+4a(a+2b)
Δ<0, vem:
4b²+4a(a+2b)<0
b²+a(a+2b)<0
(b+a)²<0 (impossível, mesmo que a<0). Logo, existem duas raízes reais.

Δ=4(b+a)²
x'=(2b+a)/a
x''=-1
(Que foi onde o nosso colega Al.Henrique chegou)
Agora é análise mesmo.

Para a<0 e b=2a, temos:
x'=5 e x''=-1
então
-1
Mas, o intervalo -1 -1
Testando as outras, por via das dúvidas;
a)a > 0 e b > 0 <-> (2b+a)/a < x < -1, repare que o intervalo dado não está contido no domínio.

b)x=(2b+a)/a é raiz, logo anularia a função, o que não é permitido pelo enunciado.

c)a>0 e b=0 <-> 1 < x < -1, O intervalo dado na questão não está contido no domínio da função.

d)a < 0 e b=3a <-> -7 < x < -1, Repare que o intervalo dado contém o domínio, mas não está restrito somente ao domínio.

e) já analisamos.

Espero que seja isso e que te ajude.

Desculpem incomodar, mas não entendi as raízes eram -1 e (2b+a)/a, como q essa segunda raiz se transformou em (b+a)/a ??

Também não entendi

Para y ser real o radicando NÃO pode ser negativo:

a.x² - 2.bx - (a + 2.b) ≥ 0

Cálculo das raízes:

∆ = (-2.b)² - 4.a.[-(a + 2b)] ---> ∆ = 4.(a + b)² ---> √∆ = 2.a + 2.b

x = [2.b ± (2.a + 2.b)]/2.a

x' = (4.b + 2.a)/2a ---> x' = 2.b/a + 1 ou x' = (2b + a)/a
x" = (-2a)/2a ---> x" = -1

Para y real e diferente de 0 teremos a.x² - 2.bx - (a + 2b) > 0
Raizes (a+2b)/a e -1 já calculados pelos outros colegas


Fazendo a análise das respostas:
a) a > 0, b > 0, -1 < x < (a + b)/a  
++++(-1)- - - ((a+2b)/a) + + + teremos y > 0 em x < -1 ou x > (a+2b)/a
Intervalo errado

b) a > 0, b < 0, x = (a + 2b)/a
Em x = (a+2b)/a teremos y = 0
Não pode ser 0

c) a > 0, b = 0, -1 < x < 1 : Substituindo b=0 na raiz (a+2b)/a teremos 1
+++(-1)- - - (1) + + + teremos y > 0 em x < -1 ou x >1
Intervalo errado

d) a < 0, b = 3a, x < -1 : Substituindo b=3a na raiz (a +2b)/a teremos 7
- - - (-1)+ + + (7) - - - teremos y > 0 em -1 < x < 7
Intervalo errado

e) a < 0, b = 2a, -1 < x < (a + b)/a Substituindo b=2a em (a +b)/a teremos 3
- - - (-1) + + +(3) - - - teremos y > 0 em -1 < x < 3 que está dentro do intervalo -1 < x < (a+2b)/a = -1 < x < (a+4a)/a = -1 < x < 5, portanto é a nossa resposta. Creio que seja isso, se alguém puder comentar...