Fatoração Simples

por Nat' Ter 03 Jul 2012, 00:13

Alguém pode me ajudar a fatorar essas equações?

1ª. a³ - 7a² + 7a + 15

Resp: (a-3)(a-5)(a+1)

2ª. x "elevado a 5" + x +1

Resp: (x² +x +1)(x³ - x² + 1)

Elas estão simples, mas eu não estou conseguindo deixa-las na sua forma final!

Fatoração Simples 2715819385

por **Robson Jr.** Ter 03 Jul 2012, 03:06

1.
Com aqueles setes e quinzes, é fácil suspeitar e constatar que -1 é raíz. Logo, o polinômio é divisível por (a+1).
Façamos esse termo aparecer:

$\small a^3-7a^2+7a+15 \\ \rightarrow a^3-7a^2-8a+15a+15 \\ \rightarrow a(a^2-7a - 8 )+15(a+1) \\ \rightarrow a(a+1)(a-8 )+15(a+1) \\ \rightarrow (a+1)(a^2-8a+15) \\ \rightarrow (a+1)(a-3)(a+5)$

2. Esse é brabinho.

$\small \\LEMA: \text{Seja um polinômio da forma }p(x)=x^a+x^b+x^c. \ \ \text{Se a, b e c deixam os três possíveis restos na} \\ \text{divisão por 3, então }p(x)\ \text{é divisível por }x^2+x+1.$

Fazendo o x² + x + 1 aparecer:

$\small x^5+x+1\\ \rightarrow x^5-x^2+x^2+x+1 \\ \rightarrow x^2(x^3-1)+x^2+x+1 \\ \rightarrow x^2(x-1)(x^2+x+1)+x^2+x+1 \\ \rightarrow (x^2+x+1)(x^3-x^2+1)$

Obs.:

I. Evite colocar mais de uma questão no mesmo tópico. É contra as regras.
II. Generalização do lema:

$\small \\ LEMA: \text{Seja um polinômio da forma }p(x)=x^{a_1}+x^{a_2}+...+x^{a_n}. \ \text{Se } a_1,\ a_2, \ a_3, \ ... \ ,a_n \ \text{deixam todos} \\ \text{os restos possíveis na divisão por n, então }p(x) \ \text{é divisível por }x^{n-1}+x^{n-2}+...+1.$

por Nat' Ter 03 Jul 2012, 07:03

Muito Obrigada! lol!

por Nat' Ter 03 Jul 2012, 07:44

Robson Jr. disse:

$Fatoração Simples Gif.latex?\small \\LEMA: \text{Seja um polinômio da forma }p(x)=x^a+x^b+x^c. \ \ \text{Se a, b e c deixam os três possíveis restos na} \\ \text{divisão por 3, então }p(x)\ \text{é divisível por }x^2+x+1$

Por favor, quais são estes três possíveis restos?