Olimpiada Cearense de Matemática (OCM 1985 e 94)

(OCM 1985) Encontre o quociente da divisão de por








(OCM 1994) Seja A=777...77 um número onde o dígito "7" aparece 1001 vezes. Determinar o quociente e o resto da divisão de A por 1001.



Vocês conseguem resolver e postar o raciocínio de resolução da questão??
Obrigado!!!

1)

é um produto notavel podemos escreve-lo assim:

(a^64 - b^64)(a^64 + b^64) o que vai se cancelar com (a^64+b^64) sobrando (a^64-b^64)

o que tambem é um produto notavel.

(a^32 - b^32)(a^32+b^32) este ultimo que tambem vai se cancelar com (a^32+b^32) sobrando (a^32 - b^32)

e assim sucessivamente

que vai chegar em um momento em que:

(a-b)(a+b)/(a+b)

ficando apenas

a-b.



2ª vamos la.. fiz assim:

peguei os 10 primeiros 7 e dividi por 1001 e percebi que ha um padrao

assim:

7777777777|1001

usando o quociente 777 voce percebe que 5 "7" vao embora, e sobram 5..

entao o padrao que encontrei foi para cada 3 "7" adicionado no quociente 5 "7" do numerador zeram

entao fazendo grupos de 5 "7" dentro de 1001 temos 200 grupos sobrando 1 "7"

entao peguei a ultima situaçao na divisao, a que sobram os 6 ultimos "7" ( 5 "7" de um grupo e o ultimo)

temos entao

777777|1001

dividindo voce percebera que o quociente vai ser 777 e o resto 70

entao voce vai usar os 200 grupos de 3 "7" o que nos da 600 "7" no quociente

e resto 70

Opa!

Muito Boa! Obrigado!

O primeiro eu consegui resolver, já o segundo eu vi umas dicas aqui e queria que alguém me explicasse como posso usa-las.

" O número do problema é igual a . Além disso, é inteiro e "

Não consegui resolver usando as dicas, mas achei uma solução para a questao:

777...77 = 7*(111...11)

Se formos testando as possiveis divisões q deixem resto zero:

11111/1001 resto=100
111111/1001 q=111, r=0

Fica fácil de perceber q a cada seis "1" o resto é o mesmo.

Como o A= 7.111...11, em q o número 1 aparece 1001 vezes, pode-se dividir 1001/6 q dá resto 5 (pois o resto se repete a cada seis "1"). Assim, 111...11, onde 1 aparece 1001 vezes, tem o mesmo resto q 11111, r = 100. Aplicando o teoremas dos restos no número A, dá resto 700.

 Só q há um problema... Não dá para garantir q o resto se repete
a cada 6 "1", mas de qualquer maneira:


111...1 = 111...1*10^6 + 111111 = 111...1*10^12 + 1111111*10^6 + 111111 = x*10^6n +111111*10^(6*(n-1)) +...+ 1111111

Com isso, prova-se q o resto da 0 a cada 6 "1"s, já q 10^6 dividido por 1001 deixa resto 1. 

x é os "1"s que sobraram. Por exemplo, se sobrou 11, o resto
daria 11. No caso sobrou 11111, entao o resto é 100. Vale ressaltar que as outras somas dão resto 0.