IME 2003 Matrizes.

Considere uma matriz A, n x n, de coeficientes reais, e k um
número real diferente de 1. Sabendo-se que A³ = k A, prove que a
matriz A+I é invertível, onde I é a matriz identidade n x n.

Alguém pode conferir minha solução?

Há duas opções para a matriz A: ou ela é inversível ou ela não o é.

1- A não inversível: Logo, det A = 0. Provemos por redução ao absurdo. Supomos det (A + I)=0. Então det A = det (A + I) o que implica em A = A + I e significa que I = 0 (Matriz Nula) o que é um absurdo, pois sabemos que I não é igual à Matriz nula. Portanto, está provado que se A não é inversível det (A + I) é diferente de zero.

2- A é inversível: pelo enunciado, A³=kA , multiplicando A^-1 dos dois lados (pela direita ou esquerda tanto faz), obtemos A² = kI (I é a matriz identidade) , novamente multiplicando ambos os lados por A^-1 obtemos A = kA^-1. Novamente, provemos por redução ao absurdo: supomos det (A + I) =0 ; temos que det A * det (A + I) = 0 . Por Binet temos que det[A(A + I)] = 0 ; det (A² + A) = 0 substituindo: det (KI + KA^-1) = 0 ; det K *det (I + A^-1) = 0 ; det (I + A^-1) = 0 ; temos que det (I + A^-1) = det (A + I) o que significa que A^-1 + I = A + I ; A = A^-1 e o que implica, na equação A=kA^-1 que k seja igual a 1; o que é um absurdo de acordo com o enunciado. Portanto, está provado que para A inversível det (A + I) é diferente de zero.

Pronto!!! E aí pessoal, cometi alguma redundância? Grato!

Alguém?

Alguém²?

"det A = det (A + I) o que implica em A = A + I"
Creio que esta passagem esteja incorreta.
A = B => Det A = Det B
Nem sempre vale a volta.

Kongo escreveu:"det A = det (A + I) o que implica em A = A + I"
Creio que esta passagem esteja incorreta.
A = B => Det A = Det B
Nem sempre vale a volta.

Nossa! Muito obrigado, realmente um vacilo e tanto meu, vou pensar em outro jeito de resolver!