Progressão Geométrica

Numa PG de cinco termos a soma dos dois primeiros termos é 32 e a soma dos dois últimos é 120. Qual é o terceiro termo dessa PG?

a + aq = 32 ----> a*(1 + q) = 32 ----> I

aq³ + aq⁴ = 120 ----> a*q³*(1 + q) = 120 ----> II

q³ = 120/32 ----> q³ = 15/4 ---> q = ³V(15/4)

a = 32/[1 + ³V(15/4)]

a₃ = aq² ----> a₃ = 32*[³V(225/16)]/[1 + ³V(15/4)]

Se quiser, basta racionalizar.

okinawa2 escreveu:Numa PG de cinco termos a soma dos dois primeiros termos é 32 e a soma dos dois últimos é 120. Qual é o terceiro termo dessa PG?

Boa tarde!

x = terceiro termo ou termo médio da PG
q = razão

a1 = x/q²
a2 = x/q
a3 = x
a4 = xq
a5 = xq²

a1 + a2 = x/q² + x/q = x*(1/q² + 1/q) = 32
a4 + a5 = xq + xq² = x*(q + q²) = 120

32/(1/q² + 1/q) = 120/(q + q²) = 120/[q(q+q)]

Simplificando os numeradores por 8, fica:

4/(1/q² + 1/q) = 15/[q(1 + q)]

Usando a propriedade principal das proporções, vem:

4q*(1 + q) = 15*(1/q² + 1/q)

Colocando o 2º fator do 2º membro sobre um mesmo denominador (q²),tem-se:

4q*(1 + q) = 15*(1/q2 + q/q²)
4q*(1 + q) = 15*(1 + q)/q²

Simplificando a equação por (1+ q), fica:

4q = 15/q²
4q*q² = 15
q³ = 15/4
q = ³√(15/4)

Por outro lado, também podemos escrever:

a1 = a1
a2 = a1*q
a3 = a1*q²
a4 = a1*q³
a5 = a1*q⁴

a1 + a2 = a1 + a1*q = a1*(1 + q) = 32
a1*[1 + ³√(15/4)]= 12
a1 = 12/[1 + ³√(15/4)]

Calculemos, então, o valor do terceiro termo:

a3 = a1*q² = 12/[1 + ³√(15/4)]*[³√(15/4)]²
a3 = 12*[³√(225/16)/[1 + ³√(15/4)]

Querendo, ou sendo necessário, pode-se racionalizar o denominador.
------------------------------------------------
Calculando os respectivos valores numéricos encontraríamos:
a1 = 12,53124856
a2 = a1*q = 12,53124856*1,553616253 = 19,46875143
a3 = a1*q²= 12,53124856 * (1,553616253)² = 30,24696866
a4 = a1*q³ = 12,53124856 * 15/4 = 46,99218211
a5 = a1*q⁴ = 12,53124856 * 5,826060949 = 73,00781789

a1 + a2 = 12,53124856 + 19,46875144 = 32
a4 + a5 = 46,99218211 + 73,00781789 = 120