Funções Trigonométricas.

por Geuh Seg 23 Abr 2012, 13:47

Encontre o valor máximo e o valor mínimo que a função f(x) = (cos x)^6 + (sen x)^6 pode assumir.

Observação: Lembre-se de que a³ + b³ = (a + b)[(a + b)² - 3ab).

GABARITO: 1 e 1/4.

por **hygorvv** Seg 23 Abr 2012, 15:03

Sabemos que sen²(x)=1-cos²(x)
e que (sen²(x))³=sen^6(x), temos:
f(x)=cos^6(x)+(1-cos²(x))³
f(x)=cos^6(x)-cos^6(x)+3cos^4(x)-3cos²(x)+1
f(x)=3cos^4(x)-3cos²(x)+1 (i)
f(x)=3(cos^4(x)-cos²(x))+1
Percebemos que f(x) tem seu valor maximizado quando cos^4(x)-cos²(x)=0 <-> x=π/2 + kπ
sendo cos²(x)=y e substituindo em (i):
f(y)=3y²-3y+1
mínimo:
yv=-b/2a
yv=3/2.3
yv=1/2

cos²(x)=1/2
cos(x)=+-sqrt(2)/2
x=π/4 + 2kπ
ou x=3π/4+2kπ

Substitundo
f(π/4)=1/4 (valor mínimo)

Espero que seja isso e que te ajude.

por **Euclides** Seg 23 Abr 2012, 15:18

$\\sen^2x=b\;\;\;\;\;\;\;\;cos^2x=a\\\\f(x)=a^3+b^3\\f(x)=(a+b)([a+b]^2-3ab)\\f(x)=1-3sen^2x.cos^2x$

O valor máximo será 1 quando ou seno ou cosseno forem iguais a zero. O valor mínimo se dá para o maior produto seno vezes cosseno que ocorre para senx=cosx

$\\f_{min}(x)=1-3\left (\frac {\sqrt{2}}{2}\times \frac {\sqrt{2}}{2} \right )^2\\\\f_{min}(x)=\frac{1}{4}$

por **Elcioschin** Seg 23 Abr 2012, 19:35

Outro modo de explicar a conclusão final do Euclides

f(x) = 1 - 3*sen²x*cos²x

f(x) = 1 - (3/4)*(4*sen²x*cos²x)

f(x) = 1 - (3/4)*(2*senx*cosx)²

f(x) = 1 - (3/4)*sen²(2x)

f(x) será mínimo quando sen(2x) for máximo ----> sen(2x) = 1

f(x)mín = 1 - (3/4)*1 ----> f(x)mín = 1/4

por Geuh Ter 24 Abr 2012, 09:39

Entendi. Muito obrigado Smile

por **Elcioschin** Ter 24 Abr 2012, 10:23

Complementando para o valor máximo de f(x)

f(x) será máximo quando sen(2x) for mínimo ----. sen(2x)mín = - 1

f(x)máx = 1 - (3/4)*(-1)

f(x)máx = 7/4 ---- Não confere com o gabarito