Dúvida demonstração

por GuilhermeRM Seg 23 Abr 2012, 11:02

Olá, na demonstração das medias geométricas, harmônicas... Quando é explicado que uma é maior que outra no meu livro, tenho duvida na parte em que: (1/x + 1/y)/2 maior ou igual 1/ (raiz quadrada de x*y). • • Então, 2/(1/x + 1/y) menor ou igual raiz quadrada de x*y. Obrigado,

por **Euclides** Seg 23 Abr 2012, 17:07

$\\\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{2}\geq\frac{1}{\sqrt{xy}}\;\to\;\frac{x+y}{2xy}\geq\frac{\sqrt{xy}}{xy}\;\to\;\frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy}\\\\\\\frac{x^2+y^2+2xy}{4}\geq xy\;\;\to\;\;x^2+y^2-2xy\geq0\;\text{verdade, pois }\;(x-y)^2\geq0$

quanto ao resto,

$\text{se }\;\frac{a}{b}\geq c\;\;\to\;\;\frac{b}{a}\leq c$

por GuilhermeRM Qui 26 Abr 2012, 20:52

Muito obrigado Euclides, eu não reparei na racionalização; Só uma pequena dúvida: Eu inverto o sinal de desigualdade no resto porque eu elevei a -1? Só se altera a desigualdade quando multiplico por numero negativo e quando elevo a expoente de numero negativo? Grato desde já.