Dúvida: Gráfico da assíntota

Questão:

Ache a(s) assíntota(s) vertical(is) do gráfico da função e faça um esboço dele.



Gabarito:

Spoiler:

Minha dúvida é a parte de baixo significa as outras duas partes do gráfico da assíntota da reta x=-5 e a assíntota da reta x=-3 né ?

Agradeço a ajuda.

Abraço

Sim, e você descobre a forma e os pontos extremos pela 1ª derivada y':

x	- ∞	-(-5)	-5	+(-5)	-4	-(-3)	-3	+(-3)	0	+ ∞
1/y=x²+8x+15	+	+	0	–	–	–	0	+	+	+
y=5/(x²+8x+15)	+	+ ∞		- ∞	–5	- ∞		+ ∞	+	+
y'=-(10x+40)/(x²+8x+15)²	+	+		+	0	–		–	–	–

-(-5) =: Limite à esquerda

+(-5)=: Limite à direita

A o sinal primeira derivada, y', vai depender só do numerador.

Indica uma curva com um máximo relativo, concavidade para baixo (Tristinha ...) no ponto da função M(-4; -5).

Amigo rihan, não sei o que houve com meu gráfico, pois este deu diferente do gabarito:





Gostaria de saber o que fiz de errado ? Sou eu ou o gabarito ?

Agradeço mais uma vez. :face:

Você errou.

O limite (desnecessário) é da função toda.

E:

Para se esboçar um gráfico de uma função f(x) precisamos de conhecer ao menos a primeira derivada, f'(x).

A derivada nos dá, a cada x, a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto, portanto nos da o desenho da função !

Observe o quadro que fiz.

De x variando de - infinito até -5 a função é monotonamente crescente, com assíntota vertical em -5.

Entre -5 e -3 temos uma tangente à curva com iclinação ZERO em x = -4, significando uma curva em forma de boca alegre ou triste (tristinha)..., como ela (a inclinação da tangente, ou derivada no ponto) vem de postiva, passa pelo zero e torna-se negativa, a curva é tristinha.

Acostume-se a fazer o quadro que fiz, acrescendo mais uma linha, a da segunda derivada, f"(x), que vai lhe dar os pontos de inflexões da função e ajudar a saber se é máximo (sorridente) ou mínimo (tristinha) os pontos extremos relativos. É o bastante.

Mestre, agradeço muito mesmo a ajuda que vens me dando, porém minha noção de derivadas é bem limitada e ainda estou na parte de limites, se o Shr puder, novamente, na sua GRANDE pasciência em ajudar me dar uma "mão" nessa questão sem envolver derivadas na resolução ficarei mais grato ainda.

Obrigado Mestre :face:

Uma das principais aplicações das derivadas é essa...

Mas você podia pensar no seguinte:

A única forma de entre -5 e -3 haver duas assíntotas para menos infinito é havendo a curva tristinha, certo ?

Bastaria você achar este ponto, que nada mais é que o "x" do vértice de x²+8x+15 (-b/2a = -4) aplicado a função original, o que daria um y de -5.

É aí que ela faz a curva... resultando na linha do seu gabarito, entre -5 e -3.

Use sempre o quadro. Organiza e sintetiza.

Quando souber as derivadas, ponha as linhas da f'(x) e da f"(x)...

Obrigado Mestre Rihan, realmente essa forma de pensar quanto a questão é muito boa.

Obrigado mesmo