UFMS Funções

Sendo f(x) = 3x + V–(x² – 5x + 6)², então a imagem da função é:

Obs.: a raiz quadrada envolve o –(x² – 5x + 6)² completamente.

a) {6, 9}
b) {2, 3}
c) {0, 2}
d) {0, 3}
e) {3, 0}

Spoiler:

Vamos ver em que casos essa expressão se torna válida, para começar.
V-(x² - 5x + 6)²
Perceba que, mesmo que a equação de dentro dê positivo ou negativo, vai dar em raiz negativa sempre, o que não existe. Mas por que dá essa raiz negativa? Bom, podemos substituir qualquer número por x naquela equação ali. Elevamos ao quadrado e vai dar um número positivo de qualquer jeito. Mas há um sinal negativo ali, o que inverte o sinal para negativo. Então a função não existe no conjunto dos números reais.
Mas, peraí! Será que não há um número que não sofra mudanças de sinal? Existe sim! É o zero! Então se pudéssemos substituir x por um valor que fará com que a expressão dê zero e não dê mudanças de sinal, então poderemos dizer que essa função existe sim!
x² - 5x + 6 = 0
∆ = 25 - 24 = 1
x = 5 + 1 / 2 = 6 / 2 = 3
ou
x = 5 - 1 / 2 = 4 / 2 = 2

Ou seja, para 2 e 3, essa função existe. Ou seja, o domínio da função é {2, 3}.

Mas então qual é a imagem? Basta substituirmos 2 e 3 por x na equação.
f(2) = 6 e f(3) = 9

O conjunto imagem dessa função é {6, 9}. Letra A.

Espero ter ajudado. ^_^

Obrigado Agente Esteves