Progressão aritmética

O interior de uma jarra é um cilindro circular reto e contém V litros de
água. Se fosse retirado 1 litro desta água, o raio, o diâmetro e a altura da
água, nesta ordem, formariam uma progressão aritmética. Se, ao
contrário, fosse adicionado 1 litro de água na jarra, essas grandezas, na
mesma ordem, formariam uma progressão geométrica. O valor de V é:
a) 6
b) 4
c) 9
d) 7
e) 5

Gabarito: D

Há um cilindro que tem V litros de água.
Litros = Decímetros cúbicos
Ou seja, o cilindro tem V dm³.

Agora, como calculamos o volume do cilindro?
V = ∏ * r² * h
Considerando que o raio é sempre o mesmo em todos os casos, temos que:
Se tirarmos 1 dm³ de medida do volume, teremos que o raio, o diâmetro e a altura da água formam uma progressão aritmética.
Nesse caso, a única coisa que mudaria seria a altura, que seria de:
V - 1 = ∏ * r² * H1 -> H1 = (V - 1) / ∏ * r²
E se acrescentarmos 1 dm³ de medida do volume, teremos o raio, o diâmetro e a altura da água formando uma progressão geométria.
Nesse caso, também somente mudaria a altura.
H2 = (V + 1) / ∏ * r²

Nesse caso, as progressões seriam:
Progressão aritmética: (r, 2r, (V - 1) / ∏ * r²)
Progressão geométrica: (r, 2r, (V + 1) / ∏ * r²)

Temos que na progressão aritmética, a razão é r. Então...
2r + r = (V - 1) / ∏ * r²
3r = (V - 1) / ∏ * r²
V - 1 = 3∏r³
V = 3∏r³ + 1
Na progressão geométrica, a razão é 2. Então...
2r * 2 = (V + 1) / ∏ * r²
4r = (V + 1) / ∏ * r²
V + 1 = 4∏r³
V = 4∏r³ - 1

Então r é:
3∏r³ + 1 = 4∏r³ - 1
4∏r³ - 3∏r³ = 2
∏r³ = 2 -> r³ = 2 / ∏

Então V é igual a...
V = 3∏(2 / ∏) + 1 = 6 + 1 = 7
Para confirmar...
V = 4∏(2 / ∏) - 1 = 8 - 1 = 7

Então o valor de V é 7 litros. Letra D.

Espero ter ajudado. ^_^

Nesse caso, as progressões seriam:
Progressão aritmética: (r, 2r, (V - 1) / ∏ * r²)
Progressão geométrica: (r, 2r, (V + 1) / ∏ * r²),como vc achou essa progressão??

Matjeq escreveu:Nesse caso, as progressões seriam:
Progressão aritmética: (r, 2r, (V - 1) / ∏ * r²)
Progressão geométrica: (r, 2r, (V + 1) / ∏ * r²),como vc achou essa progressão??

O "R" é o raio e o diâmetro é sempre o dobro do raio, portanto Diâmetro = 2R. Esses valores não vão variar, porque o recipiente não vai mudar, somente o volume do líquido.